中心矩

在概率论或者统计学中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中矩亦被稱作动差）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的動差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定義

对于一维随机变量$X$，其$k$阶中心矩$\mu _{k}$为相對於$X$之期望值的$k$阶矩：

$\mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx$

前幾階中心矩具有較直觀的意義。

• 第0階中心矩$\mu _{0}$恆為1。
• 第1階中心矩$\mu _{1}$恆為0。
• 第2階中心矩$\mu _{2}$為$X$的方差$\operatorname {Var} (X)$。
• 第3階中心矩$\mu _{3}$用於定義$X$的偏度。
• 第4階中心矩$\mu _{4}$用於定義$X$的峰度。

性質

• 中心矩具有平移不變性。對於任意的隨機變量$X$和任意常數$c$，恆有：

$\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)$

• n階中心矩是n次齊次函數。

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)$

• 只有當$n\in \{1,2,3\}$，且$X$和$Y$為兩個互相獨立的隨機變量時，中心矩才具有加法性。

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)$

另一個與中心矩類似，但在$n\geq 4$時仍保有加法性的統計量為n階累積量$\kappa _{n}$。