數字簽名算法

数字签名算法（DSA）是用于数字签名的联邦信息处理标准之一，基于模算数和离散对数的复杂度。DSA是Schnorr和ElGamal签名方案的变体。

美国國家標準技術研究所（NIST）于1991年提出将DSA用于其数字签名标准（DSS），并于1994年将其作为FIPS 186采用。[2]已对初始规范进行了四次修订。DSA已获得专利，但NIST已将此专利在全球范围内買斷式授權。

概述

DSA算法工作在框架公钥加密、模算数和离散对数问题，这被认为是难解问题。该算法使用由公钥和私钥组成的密钥对。私钥用于生成消息的数字签名，并且可以通过使用签名者的相应公钥来验证这种签名。数字签名提供信息鉴定（接收者可以验证消息的来源），完整性（接收方可以验证消息自签名以来未被修改）和不可否认性（发送方不能错误地声称它们没有签署消息）。

操作

DSA 演算法包含了四種操作：金鑰生成、金鑰分發、簽章、驗證

金鑰生成

金鑰生成包含兩個階段。第一階段是演算法參數的選擇，可以在系統的不同使用者之間共享，而第二階段則為每個使用者計算獨立的金鑰組合。

參數選擇

選擇經核可的密碼雜湊函式 $H$ ，在原版的 DSS（Digital Signature Standard）中， $H$ 總是使用 SHA-1，而目前的 DSS 已核可更為安全的 SHA-2 作為雜湊函式。^[1]^[2] 假如長度 $|H|$ 大於模數長度 $N$ ，則雜湊函式的輸出只有最左邊的 $N$ 位元會被使用。
選擇金鑰長度 $L$ ，原版的 DSS 限制 $L$ 必須為 512 到 1024 之間 64 的倍數，NIST 800-57 建議使用長度為 2048 的金鑰。^[3]
選擇模數長度 $N$ 使得 $N<L$ 且 $N\leq |H|$ ，FIPS 186-4 規定 $(L,N)$ 必須為 (1024, 160)、(2048, 224)、(2048, 256) 或 (3072, 256) 其中一種。^[1]
選擇長度為 $N$ 位元的質數 $q$ 。
選擇長度為 $L$ 位元的質數 $p$ 使得 $p-1$ 為 $q$ 的倍數。
從 $\{2\ldots p-2\}$ 隨機選擇 $h$ 。
計算 $g:=h^{(p-1)/q}\mod p$ ，當 $g=1$ 時需要重新產生不同的 $h$ ，通常會使用 $h=2$ ，即使數值很大時仍然可以非常有效率的計算這個模幂。

演算法參數為 ( $p$ , $q$ , $g$ )，可被不同的使用者共享。

使用者金鑰

給定一套演算法參數後，第二階段會為每位使用者計算獨立金鑰組合：

從 $\{1\ldots q-1\}$ 選擇隨機整數 $x$
計算 $y:=g^{x}\mod p$

其中 $x$ 是私鑰、 $y$ 是公鑰。

金鑰分發

簽章者需要透過可信任的管道發佈公鑰 $y$ ，並且安全地保護 $x$ 不被其他人知道。

簽章流程

訊息 $m$ 簽名流程如下：

從 $\{1\ldots q-1\}$ 隨機選擇整數 $k$
計算 $r:=\left(g^{k}{\bmod {\,}}p\right){\bmod {\,}}q$ ，當出現 $r=0$ 狀況時重新選擇隨機數 $k$
計算 $s:=\left(k^{-1}\left(H(m)+xr\right)\right){\bmod {\,}}q$ ，當出現 $s=0$ 狀況時重新選擇隨機數 $k$

簽章為 $(r,s)$ 組合

計算 $k$ 和 $r$ 旨在為不同訊息建立獨立的金鑰，計算 $r$ 的模幂是這個演算法中最耗資源的部分，但這可在不知道訊息的前提下進行計算。第二耗運算資源的部分是計算 $k^{-1}{\bmod {\,}}q$ 模反元素，同樣也能在不知道訊息的前提下進行計算，這可以用擴展歐幾里得演算法或費馬小定理 $k^{q-2}{\bmod {\,}}q$ 求得。