线性代数
|
|
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
|
|
|
方塊矩陣,也称方阵、方矩陣或正方矩陣[1],是行數及列數皆相同的矩陣。由矩陣組成的集合,連同矩陣加法和矩陣乘法,构成環。除了,此環並不是交换環。
M(n, R),即實方塊矩陣環,是個實有单位的結合代數。M(n, C),即複方塊矩陣環,則是複結合代數。
單位矩陣的對角線全是1而其他位置全是0,對所有矩陣及矩陣都有及。
例如,若:
單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。
方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。矩陣是可逆當且僅當存在矩陣使得
- 。
此時稱為的逆矩陣,並記作。
所有矩陣在乘法上組成一個群(亦是一個李群),稱為一般線性群。
若數字和非零向量满足,則為的一個特征向量,是其對應的特征值。數字為的特征值當且僅當可逆,又當且僅當。這裏,是的特征多項式。特征多項式是一個次多項式,有个复根(考虑重根),即有個特征值。
方塊矩陣的行列式是其個特征值的積,但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。
高斯-若爾當消元法非常重要,可以用来計算矩阵的行列式,秩,逆矩陣,并解決線性方程組。
矩陣的迹是矩陣的对角线元素之和,也是其個特征值之和。
所有正交矩阵都是方块矩阵。
线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):
- A 可逆 ; A的反矩陣存在。
- det(A) ≠ 0 。
- rank(A) = n 。
- Null(A) = 0 。
- A的特征值中没有0。
- 对任意b属于Fn,Ax = b有唯一解。
- Ax = 0只有平凡解。
- ATA可逆。
- A与单位矩阵行(列)等价。
- A的行向量或列向量張成Fn 。
- A的零空间只有零向量。
- A的值域為Fn 。
- A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。
这裡,F为矩阵元素所属的域。通常,这个域为实数域或复数域。