勞侖茲因子是一个出現在狹義相對論中的速記因子,得名於荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹,被用于计算時間膨脹、长度收缩、相对论质量等相對論效應。
勞侖茲因子定義為:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef98018e2cf0bbbc8ac0d8d88dec73b045b7e93)
其中
一些作者另外定義了勞侖茲因子的倒數:[1]
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ccd66ce7ab72955297b9973ae2d6874442c8ad)
可用於速度相加推導。
相對論性條件(近光速)下,物體的總能量
與動量
可以通過勞侖茲因子
簡單寫為:
![{\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d2d15e47ccc3356d99b5921ecec5613782ae1d)
![{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdda87521f44674347be28a32611eaa0ebd7596)
其中
為靜質量。
在四维向量描述下,能-動向量則成為:
![{\displaystyle \mathbf {p} ^{(4)}=({E \over c},\mathbf {p} )=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )=m(\gamma c,\gamma \mathbf {v} )=m\mathbf {v} ^{(4)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393e4bce55ddbda51a1b86dfe0fbce39ae966dfc)
和牛頓力學的三維動量
定義相似。
洛伦兹因子与速度的关系。速度为零时洛伦兹因子为1,速度
时洛伦兹因子趋于无穷大。
下表中,最左欄為以c為單位的速率;中間欄顯示相應的勞侖茲因子;最右欄為勞侖茲因子的倒數。以粗體字顯示者為精確值。
速率(c為單位) |
勞侖茲因子 |
倒數
|
![{\displaystyle \beta =v/c\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3557de3fab4252712895b4b91f19ad349e1efde) |
![{\displaystyle \gamma \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b0952c818e8f7b4bf1f3fd3034baa6fe397910) |
|
0.000 |
1.000 |
1.000
|
0.050 |
1.001 |
0.999
|
0.100 |
1.005 |
0.995
|
0.150 |
1.011 |
0.989
|
0.200 |
1.021 |
0.980
|
0.250 |
1.033 |
0.968
|
0.300 |
1.048 |
0.954
|
0.400 |
1.091 |
0.917
|
0.500 |
1.155 |
0.866
|
0.600 |
1.250 |
0.800
|
0.700 |
1.400 |
0.714
|
0.750 |
1.512 |
0.661
|
0.800 |
1.667 |
0.600
|
0.866 |
2.000 |
0.500
|
0.900 |
2.294 |
0.436
|
0.990 |
7.089 |
0.141
|
0.999 |
22.366 |
0.045
|
非相對論性條件[编辑]
當速度遠小於光速(非相對論性條件下),即
,則
趨近於0,而
趨近於1,回到傳統的牛頓力學描述。
參考資料[编辑]
- ^ Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.