算子

在数学领域裡，算子（operator）有别于物理的算符，是一種映射，一个向量空间的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。

算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在量子力学中，可观察量由埃尔米特算子表示。各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。

定义

设U、V是两个向量空间。从U到V的任意映射被称为算子。令V是域K上的向量空间。我们可以定义包含所有从U到V算子的集合上的向量空间结构（A和B是算子）：

(A+B)\mathbf {x} :=A\mathbf {x} +B\mathbf {x}

，

(\alpha A)\mathbf {x} :=\alpha A\mathbf {x}

对所有A, B: U→V，x $\in$ U和α $\in$ K。

从一个向量空间到自身的算子构成一个辛结合代数：

(AB)\mathbf {x} :=A(B\mathbf {x} )

，

单位元是恒等映射（通常记为E、I或id）。

有界算子和算子范数

令U和V是同一有序域（例如 $\mathbf {R}$ ）上的两个赋范向量空间。从U到V的线性算子被称为有界，如果存在C>0满足

||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}

对所有x $\in$ U。

有界算子构成一个向量空间。在这个向量空间上，我们可以引入一个与U和V的范数相容的范数：

||A||=\inf\{C:||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}\}

。

对于从U到自身的算子有

||AB||\leq ||A||\cdot ||B||

。

任何具有这一性质的辛赋范代数被称为Banach代数。可以将谱理论推广到这样的代数上。 C*-代数是具有一些附加结构的Banach代数，在量子力学中起重要作用。

特殊情形

泛函

泛函是将向量空间映射到其底域的算子。广义函数理论和变分法是泛函的重要应用。两者对理论物理都非常重要。

线性算子

线性算子是最常见的算子。设U和V是域K上的向量空间。算子A：U→V被称为线性，如果

A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}

对所有x、y $\in$ U和α、β $\in$ K。

线性算子的重要性在于它是向量空间之间的态射。

在有限维情形下，线性算子可以以下面的方式由矩阵表示。设 $K$ 是一个域， $U$ 和 $V$ 是 $K$ 上有限维向量空间。选择一组基 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ $U$ 上和一组基 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ 在 $V$ 上。令 $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ 为 $U$ 上的任意向量（假设有爱因斯坦求和约定），且有 $A:U\to V$ 是线性算子。则有

A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}

。

所以有 $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ 是算子 $A$ 在固定基底下的矩阵表示。 $a_{i}^{j}$ 不依赖于 $x$ 的选取，且有 $A\mathbf {x} =\mathbf {y}$ 当且仅当 $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$ 。因此在固定基底下的n×m矩阵一一映射到从 $U$ 到 $V$ 的线性算子。