波莱尔-坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上,波莱尔-坎泰利引理说明了,如果有无穷个概率事件,它们发生的概率之和是有限的,那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用,得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。
概率空间中的定理[编辑]
设
为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔-坎泰利引理说明:
如果所有的事件
发生的概率
的总和是有限的,
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151af2de1ca0cdf08bd4a8f454788ca594a912eb)
那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零:
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0958e7dcb298849d77713e20720ba6e2b4b3274)
其中的
是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合,所以
就是指使得序列
里面有无限多个事件一起发生的結果(outcome,或稱樣本輸出)
的集合。准确来说,
。
设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的:
。
这等价于说,正项无穷级数
收敛。所以,根据无穷级数的性质,级数的余项
的下极限是0:
![{\displaystyle \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34762a7a52210bce6805a3bd61d54189326f05f0)
因此,
[1]
对于更一般的概率空间,波莱尔-坎泰利引理可以叙述如下:
- 设μ是一个集合X上的测度,装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2977714820ecda6ab1ab14283c3b44a1d675194c)
- 那么,
![{\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ff419a38c513b3fa99a84c43ea903f30ca888e)
参考来源[编辑]
- Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
- Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
- Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
- Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.