西羅定理

在數學中，特別是代數學中的群論，西羅定理（Sylow Theorem）是一系列關於有限群的定理，它們都由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅在1872年證明。這些定理使得代數學家對有限群的結構產生了更深入的瞭解，並對有限群論的發展以及百年後的有限單群分類作出了重要貢獻。

西羅定理處理了拉格朗日定理的部份反面情況。拉格朗日定理是說如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那 $|H|$ 是 $|G|$ 的因數；但是並不是所有 $|G|$ 的因數都是某個子群的階。不過西羅定理則表明，具有 $p^{r}$ 這種形式的 $|G|$ 的因數確實是一些子群的階，並且還給出這種類型子群數目的相關訊息。

定理敘述

給定一個有限群 $G$ ，透過完全因式分解，可以把 $|G|$ 寫成 $p^{n}\times m$的形式（並且 $m$ 不被 $p$ 整除）。西羅定理描述了以下三件事：

1. 對於所有介於 $1$ 到 $n$ 之間的正整數 $r$ ， $G$ 內存在階為 $p^{r}$ 的子群。而當 $r=n$ 的時候，這種子群稱為 $G$ 的西羅 $p$-子群。
2. $G$ 中的所有西羅 $p$-子群互相共軛。
3. $G$ 中的西羅 $p$-子群數量是 $m$ 的因數、並且具有 $kp+1$ 的形式。

无限群的西罗定理

西羅定理有個對無限群的類比。可定義一個於無限群中的西羅p-子群為一個在所有群內之p-子群的內含關係內為極大的p-子群。因佐恩引理，这种子群存在。

定理：若K為一個G的西羅p-子群，且n_p = |Cl(K)|為有限的，則每一個西羅p-子群都會共軛於K，且n_p = 1 mod p，其中Cl(K)表示為K的共軛類。

應用例子

設G為一個其目為15 = 3 · 5的群，則n₃必須整除5，且n₃=1 mod 3。其中唯一滿足上述限制的值只有1；因此，只存在一個其目為3的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。相似地，n₅會整除3，且n₅=1 mod 5；因此亦只有一個其目為5的正規子群。當3和5為互質時，此兩個子群的交集為平凡群{e}，所以G必須要是個循環群。因此，只存在一個其目為15的群（以同構來分），標記為Z/15Z。

舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個其目為350的簡單群。若|G| = 350 = 2 · 5² · 7，則n₅必須整除14=2·7，且n₅ = 1 mod 5。因此，n₅=1（因為6和11都不會整除14），而因此G必然會有一個其目為5²的正規子群，故不可能為簡單群。

西羅定理的證明

西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群G會以許多種方式作用在其自身或其p-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。在下面的論述中，用a|b來表示「a會整除b」，而a $\nmid$ b則用來表示「a不可整除b」。

定理1：一個其目|G|可以被一質數次方p^k整除的有限群G會有一個其目為p^k的子群。

證明：設|G|=p^km，p^r $\mid$m且 p^r+1 $\nmid$m 。记Ω為G的元素个数為p^k之子集所組成的集合，可知|Ω| = ${p^{k}m \choose p^{k}}$及p^r+1 $\nmid$ ${p^{k}m \choose p^{k}}$，基於之前r的選定。令G以左乘積作用於Ω上，則基於r之選定，會存在一個於Ω內的A，其具有一個會使p^r+1 $\nmid$ |θ|之軌道θ=A^G。這裡會有|θ| = |A^G| = [G : G_A]的關係，其中G_A標示為集合A的穩定子子群，因此p^k | |G_A|，故p^k ≤ |G_A|。注意在G_A的作用下之於A內的兩個元素a和ga可能為不同個的，所以|A| ≥ |G_A|。由上述p^k ≤ |G_A|和|A| ≥ |G_A|兩個結果，故知|G_A| = p^k。然後，G_A即為此一想要的群。

引論: 設G為一個有限p-群，將G作用於一個有限集合Ω上，及令Ω₀為在G的作用下為固定之Ω內的點所組成之集合。然後可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。

證明：將Ω寫成在G下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在Ω內的元素x若在G的作用下不固定的話，其將會在其目為|G|/|G_x|之軌道上（其中G_x為穩定子），此目依題目的假設會是p的倍數（不可能為1，因為其目為1的軌道即為在G的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。

定理2：若H是G的子群且|H|=p^s，以及P為G的p-西羅子群，則存在一個在G內的元素a會使得aHa^-1為P的子群。特別地是，所有G的西羅p-子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個G內的元素g會使得g⁻¹Hg = K。

證明：設Ω為G內P的左陪集所組成的集合，及H以左乘積作用在Ω上。應用H於Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定義可知p $\nmid$ [G : P]，所以p $\nmid$ |Ω₀|，且因為|Ω₀| ≠ 0，故會存在一些gP ∈ Ω₀。因此對每個於H內的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H會包含於某些G內元素g之gPg⁻¹內。若H為一個西羅p-子群，則|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此對某些在G內的g，H = gPg⁻¹。

定理3：設q為一有限群G的任一西羅p-子群的目，則n_p | |G|/q且n_p ≡ 1 mod p。

證明：依定理2，n_p = [G : N_G(P)]，其中P為任一個子群且N_G(P)為於G內P的正規化子，可知此數為|G|/q的因數。令Ω為所有G的西羅p-子群所組成的集合，且P以共軛作用於Ω上。設Q ∈ Ω₀並可知對所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ N_G(Q)。依定理2，P和Q會於N_G(Q)內共軛，尤其是Q會在N_G(Q)為正規，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

算法

由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅p-子群可以在多項式時間內被找到。

參考資料

• Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
• H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.