辅助统计量

在统计学中， 辅助统计量是任何其分布不取决于模型参数的统计量。 ^[1]

定义

设 $P_{\theta }$ 是一概率模型，其中 $\theta$ 是参数。若对于来自样本的数据 $\mathbf {Y}$ ，统计量 $T(\mathbf {Y} )$ 的分布不依赖于 $\theta$ ，则称 $T(\mathbf {Y} )$ 是关于 $\theta$ 的辅助统计量。这即是说，对于任何博雷尔集 $A$ ，有 $P_{\theta }(T(\mathbf {Y} )\in A)=\mu (A)$ ，其中 $\mu (\cdot )$ 是不依赖于 $\theta$ 的概率测度。

例子

常数

很明显，常数是最简单的辅助统计量。

均值未知的正态分布的样本方差

对于正态分布模型 $\{N(\mu ,\sigma ^{2})|\mu \in \mathbb {R} \}$ ，其中方差 $\sigma ^{2}$ 已知，可以证明（在 $n>1$ 时）样本方差 ${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$ 是 $\mu$ 的辅助统计量。实际上，样本方差的分布为比例卡方分布 $\sigma ^{2}\cdot \chi _{n-1}^{2}$ ，不依赖于 $\mu$ 。