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连续统

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連續統（英語：continuum）在數學概念中是指，在實數集裡實數可以連續變動，也就是說，实数集是個連續統。[註 1][註 2]

有序集

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在集合論中，連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集，而且其序滿足如下性質[註 3]：

  1. 稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素
  2. 無洞：有上界的非空子集一定有上確界

實數集即為連續統的例子；實際上它是連續統的原型。以下是連續統的幾個例子：

  1. 序結構與實數集同構（序同構）的集合，例如實數集裡的任何開區間
  2. 擴展的實數軸，以及序同構於它的，比如單位區間。
  3. 實的半開半閉區間如 (0,1] 等，以及其序同構。
  4. 拓扑學中有一種比實數線還要長的「長直線」
  5. 非標準分析中的超實數集

連續統的基數

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主条目：連續統的勢

康托的連續統假設有時會被敍述成「在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基数」，這裡的「連續統」指的是實數集；連續統的基數即特指實數集的基數。

拓撲學

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在點集拓撲學中，一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間。[註 4]

按照以上定義，一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統；由連通性和豪斯多夫性質，可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性：

  • 是否存在這樣的連續統 C ，它可以寫成兩個連續統的並集，且這兩個都是 C 的真子集？

答案是肯定的，第一個例子由魯伊茲·布勞威爾給出[1]。

注释

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  1. ^ 更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值，或者說該量的變化範圍是一個連續統。
  2. ^ 在數學上，連續統這一術語至少有兩種精確定義，但並不等價。另外，連續統一詞有時即指實數線或者實數集，這是較舊的叫法；見連續統假設。
  3. ^ 具此性質的序稱為「稠密無洞」的
  4. ^ 或者非空的緊緻連通豪斯多夫空間，但較少用

外部連結

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參考

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  1. ^ Charles E. Aull, Robert Lowen. Handbook of the history of general topology. Springer. 2001. 
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