K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展,如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。
K函数的定义为:
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z-1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4302d3c378d5cd4a16bbb2839841c5c81cbd5ac)
还可以写成闭合形式:
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fa49fafc8612087ae4997082eeda2651a252b1)
其中,
表示黎曼ζ函數的导函数,而
则表示赫爾維茨ζ函数的导函数,即
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff76d2f022a344cc7f5707de8ec29ecde8b1ded9)
另一种使用多伽玛函数的表示形式是:[1]
![{\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455f14c9614bca260b7f2e19a265d3368a118cb)
或者使用广义多伽玛函数表示为:[2]
![{\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca516315f8af30e65e0e5b2744940114ed5e6f28)
其中A表示格莱舍常数(Glaisher constant)。
K函数与Γ函数和巴尼斯G函数关系密切。对于自然数n,我们有:
![{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06503f21524b9126fa9f64e18f1fce5a78551956)
还可以更简单地写为:
![{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867a0232a5114d84808ce22f2a4fd96e542103ef)
前几项为:1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的第A002109号数列).
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