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要先從Peano公理出發：

若N是自然數集合，N符合以下的條件：

• 對於所有N的元素x而言，存在一個與之對應的元素S(x)，這個元素S(x)稱為x的後繼
• 對於所有N的元素x而言，若a和b都是x的後繼，則a等於b，也就是說，x的後繼是唯一的
• N當中存在一個元素e，e不是N中任何元素的後繼
• 數學歸納法：若P是一個關於自然數集合的命題，那麼當以下條件都成立時，P對所有的自然數都成立：
  • P對e成立
  • P對x成立，可推出P對x的後繼S(x)也成立

之後討論一些和x與S(x)有關的性質。

接著就來定義加法和乘法，加法和乘法可如下定義：

加法：

• x+e=x
• S(x+y)=x+S(y)

乘法：

• ex=e
• xS(y)=(xy)+x

之後先證明自然數的加法和乘法滿足交換律、結合律、分配律等性質，這些性質可藉由數學歸納法證明。

等到這些性質都證明後，就可以來定義說e=0、S(0)=1、S(1)=2、‧‧‧

之後再用這些公理、定義和先前證明的性質，來證明說1+1=2

从代数的角度讲，你可以认为世界上没有2，只有0、1和“加法”。所有的自然数都是用1和“加法”造出来的。比如，下列几个数字是自然数：

• 0
• 1
• 1+1
• (1+1)+1
• ((1+1)+1)+1
• ((((((1+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1

等等。为了表示方便，创造一些其他记号用于表示庞大的数字，比如 2 表示 1+1，7 表示 ((((((1+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1。所以这个等式是无法证明的，而是我们直接规定出来的。

假設x=1 則1+1=2 因f(x)=(2,2) 則1+1連通 所以1+1=n(無限量的數，加起來都是整數）