User:Arulilipopo/Seifert表面

由一组三不互扣环界定的 Seifert 曲面。

在数学中， Seifert表面（以德国数学家Herbert Seifert命名 ）是一个可定向曲面，其边界是给定的纽结或链接。

此类表面可用于研究相关纽结或链接的属性。例如，许多纽结是否相同(纽结同论)可以使用 Seifert 曲面判断。 Seifert曲面本身也很有趣, 有许多研究围绕它们展开。

该表面的定义如下: 令L为三维欧几里得空间（或三维球体）中的驯服可定向结或链接。 由L生成的Seifert表面 S 是一个嵌入在三维空间中的紧凑、连通、可定向曲面，S的边界为L ，使得L上的选定的方向恰好是S边界上的方向。

请注意，在此定义下, 三维欧几里德空间中任何具有非空边界的紧凑、连通、可定向曲面都是由其边界产生的Seifert表面。单个纽结或链接可以生成许多不同的不等价 Seifert表面。 Seifert表面必然是可定向的。但是Seifert表面也能与未定向或不可定向的结关联起来。

例子和反例

Hopf 链接的 Seifert 表面。这是一个环面，并不是莫比乌斯带。它有两个半扭转，因此可以定向。

标准的莫比乌斯带具有边界, 其边界线是平凡结。但因为平凡结不可定向, 所以莫比乌斯带并不是 Seifert 表面。

通过给三叶结的常用投影进行“棋盘”着色, 我们可以生成具有三个“半扭曲”的莫比乌斯带表面。因为三叶结不可定向, 所以和之前的例子一样, 生成的表面并不是 Seifert 表面。

存在性和 Seifert 矩阵

定理: 任何链接总是有一个关联的 Seifert 表面。

该定理由 Frankl 和列夫·庞特里亚金于 1930 年首次发表 Herbert Seifert于 1934 年发表了一个不同的证明，该证明依赖于现在的 Seifert 算法。该算法可以通过给定的相关结或链接的投影来生成 Seifert 表面 $S$ 。

目前中文维基百科的链接界面尚且缺失, 为了不影响阅读, 在此简单地说明一下: 一个链接(link)是由若干个纽结互相缠绕组成的。

假设该链接有m 个组件（对于纽结， m = 1 ），该图有d 个交叉点，并且解析交叉点（保留结的方向）会产生f个圆。然后是表面$S$由f 个不相交的圆盘通过附加d个带构造而成。同源群$H_{1}(S)$是有$2g$个生成元的可交换自由群。

$g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)$

是$S$的亏格。$H_{1}(S)$的交叉形式Q是斜对称的，可以用 2 g 生成元作为基来表示: $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}$, $Q=(Q(a_{i},a_{j}))$. Q等于下面这个矩阵的g 个副本的直和

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

解析失败 (未知函数“\timtes”): {\displaystyle 2g \timtes 2g } 的Seifert矩阵: $V=(v(i,j))$

其在三维空间中的环绕数 为$v(i,j)$ the in (or in the 3-sphere) of a_i and the "pushoff" of a_j in the positive direction of $S$. More precisely, recalling that Seifert surfaces are bicollared, meaning that we can extend the embedding of $S$ to an embedding of $S\times [-1,1]$, given some representative loop $x$ which is homology generator in the interior of $S$, the positive pushout is $x\times \{1\}$ and the negative pushout is $x\times \{-1\}$.

With this, we have

$V-V^{*}=Q,$

where V^∗ = (v(j, i)) the transpose matrix. Every integer 2g × 2g matrix $V$ with $V-V^{*}=Q$ arises as the Seifert matrix of a knot with genus g Seifert surface.

The Alexander polynomial is computed from the Seifert matrix by $A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),$ which is a polynomial of degree at most 2g in the indeterminate $t.$ The Alexander polynomial is independent of the choice of Seifert surface $S,$ and is an invariant of the knot or link.

The signature of a knot is the signature of the symmetric Seifert matrix $V+V^{\mathrm {T} }.$ It is again an invariant of the knot or link.

结的亏格

Seifert 曲面完全不是唯一的：亏格为 g 的 Seifert 表面S 和相对应的 Seifert 矩阵V 可以通过割补理论进行修改，得到亏格 为 g + 1 的 Seifert 表面S ′和新的Seifert 矩阵:

$V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

外部链接

• Jack van Wijk的SeifertView 程序可将使用 塞弗特算法构造的结的塞弗特表面可视化。

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