在微积分和数学分析的其他分支中,不定式(英语:Indeterminate form),又称未定式,是指这样一类极限,其在按极限的运算规则进行代入后,还未能得到足够信息去确定极限值。
这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥在19世纪中叶提出。常见的不定式有:
。
处理计算未定式的值常见的方法为使用洛必达法则。
- 0除以0
是不定式。
- 0的0次方
也是不定式。在不同软件中,有不同的处理规则,有些定义为1或0,有些视为“没有定义”。
在数学上,当
趋向
,
的极限是1。
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3e7b0d3043e023e7a3a2fd0a2a2fa848d125d2)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0444878d85174db20b7f57fb87d2f70c3d62936)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e558fef8170b4fe59fc512f4926b077047dd6fd)
在幂级数和微积分中,有时候必须定义
,等式才会成立。
在二项式定理中,当
,右式会出现
。
![{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95565a50a2067c32e3339056f3478b0b1f5fa6f)
微分学的幂法则,在
及
的情况下,也会出现
。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abc471c35f8dcafe29fc663bcd0a7b416b14283)
在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义
,当电压和电流都为
时
的值存在不确定性。
例如,极限
当
。若
等于
,极限为1;若
等于
的两倍,则极限为2。
更一般地,
的极限可以通过洛必达法则求得。
不定式列表[编辑]
下表中列出了最常见的不定式,可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。
不定式
|
条件
|
变换到0/0
|
变换到∞/∞
|
|
|
—
|
|
|
|
|
—
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|