十二面体半形
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| 类别 | 抽象多胞形 射影多面体 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 二十面体半形 | |
| 数学表示法 | ||
| 施莱夫利符号 | {5,3}/2 或 {5,3}5 | |
| 性质 | ||
| 面 | 6 | |
| 边 | 15 | |
| 顶点 | 10 | |
| 欧拉特征数 | F=6, E=15, V=10 （χ=1） | |
| 组成与布局 | ||
| 顶点图 | 5.5.5 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | A5, 60阶 | |
| 特性 | ||
| 不可定向、 欧拉示性数为1 | ||
| 图像 | ||
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在抽象几何学中，十二面体半形是一种仅由一半数量的正十二面体面构成的抽象多面体。
性质
[编辑]十二面体半形是一种抽象正多面体，共由6个面、15条边和10个顶点组成；其中所有6个面都是正五边形、每个顶点都是3个正五边形的公共顶点，在施莱夫利符号中可以用{5,3}5或{5,3}/2[1]来表示，其中{5,3}代表且每个顶点都是3个正五边形的公共顶点，然而{5,3}代表正常的正十二面体，因此用{5,3}5符号来表示十二面体半形[2]。十二面体半形的皮特里多边形为五边形，且皮特里对偶仍为十二面体半形，是一种自身皮特里对偶的多面体[3]。
构造
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要构造十二面体半形可透过将正十二面体沿最接近赤道的边（或沿皮特里多边形）将其分割成两半，取其中一个半球，并让其保持原有连接方式，同时让赤道（或皮特里多边形上的）边与相对边连结、赤道（或皮特里多边形上的）点与相对点。这样的做法产生了一个非实体的抽象多面体，由10个顶点、6个五边形和15条边组成，其数量正好为原始正十二面体的一半。在赤道（或皮特里多边形上）互相交叉连接的作法，使得这个几何结构的表面成为一个单面且具投影平面连通性的2-流形。[4]
具象化
[编辑]十二面体半形是一个抽象多面体，其无法实体存在，但可以透过一些手段来具象化。2007年，卡罗·塞坎（Carlo Séquin）和詹姆斯·哈姆林（James Hamlin）参考其他不可定向曲面，在SIGGRAPH上发表了一种基于四面体对称性使用扭歪多边形面来具象化十二面体半形的方法，并以此研究由十二面体半形组成的四维抽象多胞体——四维正五十七胞体[4]。
然而上述具象化结果是一个扭歪多面体，其面由扭歪五边形组成，因此无法确定唯一的封闭区域，故无法以“实体”具象化。数学家布兰科·格伦鲍姆曾提出一个问题：“十二面体半形能否具象化为三维空间自相交之非退化多面体的嵌入？”，这个问题后来由拉约什·希洛西给出了一个可能的解[5][6]。
由于十二面体半形可被视为是一种影射多面体（可视为由六个五边形构成的实射影平面镶嵌），因此其亦可以被具象化在一个半球体上。十二面体半形也可以具象化为位于罗马曲面上的正则地区图。[7][8][9]
投影
[编辑]十二面体半形有2种具备对称性的投影图，分别为周界为十边形的投影和周界为十二边形的投影：[10]
周界十边形的投影 |
 周界十二边形的投影 |
 十二面体半形的另一种投影[3][11] |
佩特森图
[编辑]在图论中，十二面体半形可以视为嵌入于实射影平面的佩特森图[12]。换句话说，即十二面体半形的骨架图为佩特森图[3][13]。在这个嵌入的情况下，可以得到其对偶图为K6（六个顶点的完全图），对应到二十面体半形。[14]
十二面体半形的六个面于佩特森图中被绘成涂上颜色的图形。
相关多面体
[编辑]十二面体半形是一个由6个面组成的抽象多面体。另一个与正十二面体相关，且面数为6的抽象多面体是皮特里十二面体，其拓朴结构是一个位于三阶十边形镶嵌中，亏格为6的正则地区图，其可以透过正十二面体的骨架具象化为扭歪多面体。[15]
皮特里十二面体
[编辑] 以不同颜色表示每个面 | |
| 类别 | 皮特里对偶 正则地区图 |
|---|---|
| 对偶多面体 | C6:{3,10}5 |
| 数学表示法 | |
| 施莱夫利符号 | {5,3}π {10,3}5[15] |
| 性质 | |
| 面 | 6 |
| 边 | 30 |
| 顶点 | 20 |
| 欧拉特征数 | F=6, E=30, V=20 （χ=-4） |
| 二面角 | (不存在) |
| 对称性 | |
| 对称群 | 点群：Ih, H3, [5,3], *532 作为正则地区图：A5×C2, 120元素[15] |
| 特性 | |
| 扭歪、正则 | |
皮特里十二面体是正十二面体的皮特里对偶，可以透过将原有正十二面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里十二面体为由正十二面体的皮特里多边形构成的立体[16]。由于正十二面体的皮特里多边形为扭歪十边形，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。
皮特里十二面体是一种亏格为6的不可定向立体[15]，由6个面、30条边和20个顶点组成，其中，每个面都是扭歪十边形，每个顶点都是3个扭歪十边形的公共顶点。[15]
 正十二面体的皮特里多边形 |
扭歪十边形 |
 构成皮特里十二面体的扭歪十边形面 |
皮特里十二面体与正十二面体互为皮特里对偶，也就是说，皮特里十二面体的皮特里对偶为正十二面体，换句话说，即皮特里十二面体的皮特里多边形为正五边形[15][17]。
拓朴结构与皮特里十二面体互相对应的正则地区图其在施莱夫利符号中可以用{10,3}表示，其意义代表每个顶点都是3个十边形的公共顶点。其对应的对偶多面体在施莱夫利符号中可以用{3,10}表示，其意义代表每个顶点都是10个三角形的公共顶点，并具有20个面、30条边和6个顶点[18]。
 皮特里十二面体 |
 以正则地区图表示的皮特里十二面体 |
参见
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ McMullen, Peter and Schulte, Egon. Regular polytopes in ordinary space. Discrete & Computational Geometry (Springer). 1997, 17 (4): 449–478.
- ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
- ^ 3.0 3.1 3.2 The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-08-01]. （原始内容存档于2017-03-16）.
- ^ 4.0 4.1 Séquin, Carlo and Hamlin, James. The regular 4-dimensional 57-cell. ACM SIGGRAPH 2007 Sketches, SIGGRAPH'07. 2007-08. doi:10.1145/1278780.1278784.
- ^ Szilassi, Lajos. A Polyhedral Model in Euclidean 3-Space of the Six-Pentagon Map of the Projective Plane. Discrete & Computational Geometry (Springer). 2008, 40 (3): 395––400.
- ^ Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron and CET, UC. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA (Citeseer). 2007: 159––166.
- ^ Séquin, Carlo H. Regular Maps on Cube Frames. Bridges. 2009.
- ^ Séquin, Carlo H. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps. Symmetry Festival, Delft, the Netherlands, August. 2012: 2––7.
- ^ Séquin, Carlo H; et al. Tubular Sculptures. Bridges Conf. Proc. 2009: 87––96.
- ^ Stokes, Klara and Izquierdo, Milagros. Geometric point-circle pentagonal geometries from Moore graphs. Ars Mathematica Contemporanea. 2015, 11 (1): 215––229.
- ^ Projection of hemidodecahedron. Regular Map database, weddslist.com. [2021-08-01]. （原始内容存档于2021-08-02）.
- ^ Planat, Michel, Drawing quantum contextuality with 'dessins d'enfants', 2014-03, ISBN 978-3-319-12945-7, doi:10.1007/978-3-319-12946-4_4
- ^ Balasubramanian, Krishnan. Combinatorics of Petersen graph and its compositions for all irreducible representations for Jahn–Teller, non-rigid molecules and clusters. Journal of Mathematical Chemistry. 2016-08, 54. doi:10.1007/s10910-016-0634-7.
- ^ Melikhov, Sergey A. Combinatorics of embeddings. arXiv preprint arXiv:1103.5457. 2011.
- ^ 15.0 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 C6:{10,3}5. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
- ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
- ^ The dodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-01）.
- ^ C6:{3,10}5. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
