在数学中,拉开(法文:éclatement,英文:blowing up)、单项变换或σ-过程是一种几何的操作,代数几何中的应用尤重。拉开是双有理几何的基本工具。对代数簇或复流形
上一点
的拉开是将该点换为该点法丛的射影丛,或者具体地说是换为该点切空间的射影空间,从而得到拉开态射
,这是一个双有理等价。对较高维子流形也能定义拉开。
当代代数几何学将拉开视为对概形的内在操作,然而拉开也有外在的描述法,例如取一平面曲线,并对它所处的射影平面作某类变换;这是古典的进路,其想法至今仍反映于用语上。
对仿射空间中一点作拉开[编辑]
以下仅考虑复数域
上的情形,一般构造准此可知。
令
为复仿射空间
的原点,仿射空间的元素以坐标表为
。令
为
-维复射影空间,其元素以齐次坐标表示为
。 令
为
中由等式
定义之闭子集,其中
。则投影态射
![{\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5d270c7e8d46dafb0108d3f5f6c4511fa59866)
自然地导出态射(特别也是全纯函数)
![{\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a6681ceb6b184aa2b15a976fa99105bdaa7595)
此态射
(或者更常指空间
)称为
的拉开。
例外除数
定义为
对态射
的逆像。可以证明
![{\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef9bfd9c1390ca1e47ac05fb590d0ff19dc2848)
同构于射影空间。它是个非负除数,而且在
之外
是同构。因此
是
与
之同构。
对复流形的子流形作拉开[编辑]
一般来说,我们可以开任何余维为
的复子流形
。设
由方程式
定义,并设
为
上的齐次坐标。沿
的拉开
定义为方程
(对所有
)在空间
中定义的闭子集。
进一步推广,我们可拉开任何复流形
的任一复子流形
,方式是局部上化约到上述情形,拉开后再予以黏合。效果依然,我们将
拉开为例外除子
。而拉开态射
![{\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5acd2230dd5763a94d37a7da82e513539ae3e34)
依然是双有理的,并在
外是同构。
可自然地视作
的法丛的射影化,因此
局部上是纤维化映射,其纤维为
。
由于
是平滑除子,其法丛为线丛。对于曲面的情形,可证明
的自相交数为负,这表明其法丛没有整体上定义的截面。
是其同调类在
上的唯一代表,原因在于:假设
经扰动后变为代表同一同调类的另一个复子流形,则它和
的相交数必为正,故矛盾。这是例外除子之所以“例外”之故。
设
维某个
中不等于
的复子流形。若
不交
,则它本质上不受沿
的拉开影响。然而若有相交,则
在
中导出两个几何对象:一者是真变换或称严格变换,它是
在
中的闭包,其法丛一般与
的不同。另一者是全变换,包含
的全体或一部分,其同调类基本上是
的上同调类之拉回。
推广:概形的拉开[编辑]
拉开可以在一般的概形上定义。令
为一概形,并设
为其上一凝聚理想层,
沿
的拉开是概形
及真态射
![{\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77f11f1cc94c740ea5e641fe73cf2fc92a13b99)
使得
是可逆层,此拉开由下述泛性质刻划:
- 对任何态射
,若它使得
是可逆层,则
唯一地透过
分解。
此拉开可具体地由
![{\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c43b6a3d7ee2cc0277d2e1e0e0d5ed74e73b7a6)
构造。当
是拟射影概形时,
将是射影态射。
重要性质[编辑]
与有理映射的关系[编辑]
与奇点解消的关系[编辑]
曲面的拉开[编辑]
在平滑的射影曲面上,任何双有理等价皆可分解为一系列的拉开与缩回。
以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分类中的基本工具:
定理 . 设
为平滑射影曲面,
为
上一个既约除数,若其相交矩阵
负定,则
可表成某个代数曲面的拉开,使得
为其例外除数。
相交理论[编辑]
相关的建构[编辑]
向法锥变形[编辑]
向法锥变形的技术可以证明代数几何中的许多结果。给定一个概形
及其闭子概形
,我们在
中拉开
,则
![{\displaystyle {\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718e05cfe7efd019048942cf29250b3a8d7d3fcc)
是纤维化映射。沿着
的一般纤维自然同构于
,而中心纤维则是两个概形的并集:一者是
沿
的拉开;另一者则是
的法锥,其中我们将纤维紧化为射影空间。
辛流形的拉开[编辑]
拉开也可以在辛流形的范畴中施行,称作辛拉开。方式是将辛流形赋予殆复结构,然后仿照复拉开的模式。然而这仅在拓扑层次上有意义,我们必须小心地为拉开后的空间赋予一个辛形式,因为我们不能任意将辛形式沿例外除数
延拓,而必须在
的一个邻域上修改之;或借着将
的一个开邻域切下,然后适当地折叠边界以完成拉开。较好的理解方式是利用辛切割的一般理论,其中辛拉开只是个特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除数向法锥变形的类比。