拓扑流形

在数学中，拓扑流形（ topological manifold ）是一个“局部上看起来像是 $\mathbb {R} ^{n}$ ”的拓朴空间，是微分几何的主要研究对象。所有其他类型的流形（ manifolds ）都是带有额结构的拓扑流形。例如可微流形是一个带有额外的“微分结构”的拓扑流形；而光滑流形则要求这个“微分结构”要是无穷可微的。

形式定义

一个 $n$ 维拓扑流形（或简称流形）是一个拓扑空间 $M$ ，满足以下性质：

1. $M$ 是豪斯多夫空间。
2. $M$ 是第二可数空间。
3. 对于每个 $M$ 中的点，找的到一个该点的邻域 $U$ ，使得 $U$ 和 $\mathbb {R} ^{n}$ 同胚。

范例

• 连续函数的图形。
• $n$ 维的球体。
• $n$ 维射影空间。
• 环面

范例

$n$ 维流形

• $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一个 $n$ 维拓扑流形。
• 离散空间是一个 $0$ 维拓扑流形。
• 圆形是一个紧致的 $1$ 维拓扑流形。
• 环面和克莱因瓶是紧致的 $2$ 维拓扑流形。
• $n$ 维的球面是一个紧致的 $n$ 维流形。
• $n$ 维的环面是一个紧致的 $n$ 维流形。

Projective manifolds

• Projective spaces over the reals, complexes, or quaternions are compact manifolds.
  • Real projective space RPⁿ is a n-dimensional manifold.
  • Complex projective space CPⁿ is a 2n-dimensional manifold.
  • Quaternionic projective space HPⁿ is a 4n-dimensional manifold.
• Manifolds related to projective space include Grassmannians, flag manifolds, and Stiefel manifolds.

Other manifolds

• Differentiable manifolds are a class of topological manifolds equipped with a differential structure.
• Lens spaces are a class of differentiable manifolds that are quotients of odd-dimensional spheres.
• Lie groups are a class of differentiable manifolds equipped with a compatible group structure.
• The E8 manifold is a topological manifold which cannot be given a differentiable structure.

参考文献

引用

书籍

• （英文）Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York. 2012.