有限域算术

有限域算术是抽象代数中的一个概念，尤指在有限域之中进行的算术。其中有限域是一种域，所以包含的元素数量是有限的。作为比较，无限域算术则指在有无限多元素的域(如有理数)中的算术。

不同的有限域有无限多种，它们的势(英语：Cardinality)皆以 $p^{n}$ 的形式表示，其中 $\ p$ 是一个素数； $n$ 为自然数。两个元素数量相同的有限域称做同態的。$p$ 同时代表此有限域的特征数，而$\ n$ 则是此有限域的维度。

有限域有许多不同的应用，包含编码理论与线性区块码(例如BCH码和里德-所罗门码)以及在密码学中的算法(例如进阶加密标准)等不同领域的应用。

有效多项式表示

伽罗瓦域

有$\ p^{n}$个元素的有限域可以表示成$\ \mathrm {GF} (p^{n})$，其中 GF 为伽罗瓦域(英语：Galois field)的缩写。伽罗瓦域即为有限域的别称，以纪念现代群论的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽罗瓦。

一个简单的例子是$\ \mathrm {GF} (p)$(也能可表示成$\ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ 或 $\mathbb {F} _{p}$)，其中$\ p\$是一个素数。$\ \mathrm {GF} (p)$是将正整数作以$\ p\$为模的模算术后所得的结构。换言之，我们可以对整数进行加法、减法、乘法的算术，接着再以模算术将结果简化。因此$\ \mathrm {GF} (p)$其实也是一种环。

以$\ \mathrm {GF} (5)$为例

在$\ \mathrm {GF} (5)$中，$4+3=2$ 而不会等于$\ 7$，这是因为$\ 7_{(}mod\ 5)=2$。而除法能理解为对其乘法逆元作乘法，并可以使用扩充版的辗转相除法来计算。

以$\ \mathrm {GF} (2)$为例

$\ \mathrm {GF} (2)$的加法为XOR，而乘法是AND。由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恒等函数。

GF(pⁿ)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式，例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行：先按常规计算W = P⋅Q，然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法)。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(pⁿ)的元素表示为二进制数，按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。例如，下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式: x⁶ + x⁴ + x + 1

二进制: {01010011}

十六进制: {53}

加法和减法

加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR，因此：

多项式：(x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1

二进制： {01010011} + {11001010} = {10011001}

十六进制：{53} + {CA} = {99}

在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2x⁶，但在有限域的加法下，0x⁶则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

p1	p2	p1 + p2 (normal algebra)	p1 + p2 in GF(2n)
x3 + x + 1	x3 + x2	2x3 + x2 + x + 1	x2 + x + 1
x4 + x2	x6 + x2	x6 + x4 + 2x2	x6 + x4
x + 1	x2 + 1	x2 + x + 2	x2 + x
x3 + x	x2 + 1	x3 + x2 + x + 1	x3 + x2 + x + 1
x2 + x	x2 + x	2x2 + 2x	0

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2ⁿ) 伽罗瓦域，使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法

乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说， 乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的发音近于"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域， 同时可被称之为伽罗瓦域GF(2⁸)。在乘法上它依赖下列简约多项式：

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1

例如：{53} • {CA} = {01}，因为在Rijndael域中：

   (x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

与

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制)，同时可被长除法所表示，(使用二进制注释。注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。)：

                        
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011     
           1110000011110
          ^100011011    
            110110101110
           ^100011011   
             10101110110
            ^100011011  
              0100011010
             ^00000000  
               100011010
              ^100011011 
                00000001

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)