柯西-欧拉方程

柯西-尤拉方程是形式如 $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ （其中 $b,c$ 是常数）的二阶变系数常微分方程。

解法

观察可知 $y=x^{r}$ 是一个特定解：

0=x^{2}y''+bxy'+cy

=x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}

=(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}

因为 $x^{r}=0$ 当且仅当 $x=0$ ，所以要考虑二次方程 $r^{2}+(b-1)r+c=0$ 的解。

r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).

设 $p,q$ 为二次方程的解。若 $p,q$ 不相等， $y$ 的一般解则为 $y=Ax^{p}+Bx^{q}$ 。

若 $p=q=(1-b)/2$ ，其中一个特定解为 $x^{r}\ln {x}$ ：

x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}

=x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)

代入 $r=(1-b)/2$ 便知右方括号内等于0。因此核实 $x^{r}\ln {x}$ 是一个特定解。

于是，便有两个线性独立解，继而可得： $y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}$ 。