欧几里得整环

在抽象代数中，欧几里得整环（Euclidean domain）是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

定义

一个欧几里得整环是一整环 $D$ 及函数 $v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}$，使之满足下述性质：

• 若 $a,b\in D$ 而 $b\neq 0$，则存在 $q,r\in D$ 使得 $a=bq+r$，而且 $r=0$，或者 $v(r)<v(b)$。
• 若 $a$ 整除 $b$，则 $v(a)\leq v(b)$。

函数 $v$ 可设想成元素大小的量度，当 $D=\mathbb {Z}$ 时可取 $v(x):=|x|$。

例子

欧几理得整环的例子包括了：

• 整数环 $\mathbb {Z}$，$v(x)=|x|$。
• 高斯整数环 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$。
• 域上的多项式环（$v(f)=\deg f$）与幂级数环（$v(f)$ 定义为使 $X^{n}|f(X)$ 的最大非负整数 $n$）。
• 离散赋值环，$v(x)$ 定义为使 $x\in {\mathfrak {m}}^{n}$ 的最大非负整数 $n$，其中 ${\mathfrak {m}}$ 表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 $v$-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的整数环在 $d=-19,-43,-67,-163$ 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。

文献

• Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
• Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
• Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76