比较审敛法

比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。

定理

设两个级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$，且$|u_{n}|\leq v_{n}(n=1,2,3,...)$：

如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收敛；

设两个级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$，且$v_{n}\leq u_{n}(n=1,2,3,...)$：

如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$发散，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$发散。

证明

证明1

设$\sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$当$u_{n}\leq v_{n}$时，则有$\sigma _{k}\leq s_{k}$：

当级数$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$收敛时，数列$s_{k}$有界，从而数列$\sigma _{k}$有界，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收敛；

当级数$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$发散时，数列$\sigma _{k}$无界，从而数列$s_{k}$无界，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$发散。

证明2

设有级数$\sum a_{n}$与$\sum b_{n}$，其中$\sum b_{n}$绝对收敛（$\sum |b_{n}|$收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足$|a_{n}|\leq |b_{n}|$。考虑它们的部分和$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.$由于$\sum b_{n}$绝对收敛，存在实数T，使得$\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$成立。

对于任意n，都有$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$ (因满足$|a_{n}|\leq |b_{n}|$)

由于$S_{n}$为单调不下降序列，$S_{n}+(T-T_{n})$为单调不上升序列(随着n上升，属于$|a_{n}|$的便多过属于$|b_{n}|$)，给定$m,n>N$，$S_{n},S_{m}$都属于闭区间$[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$，当N趋向无穷大时，这个区间的长度$T-T_{n}$趋向于0。这表明$(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此$\sum a_{n}$绝对收敛。

参见

• 审敛法
• 比值审敛法
• 根值审敛法
• 交错级数审敛法