汉弥尔顿矩阵

在数学上，若一个 $2 n$ 阶矩阵 $A$ 是一个汉弥尔顿矩阵，则对此矩阵而言， $JA$ 会是一个对称矩阵，而其中 $J$ 这个矩阵具有以下的形式：

J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}

其中 $I n$ 是 $n$ 阶矩阵单位矩阵。也就是说，若 $A$ 是一个汉弥尔顿矩阵当且仅当 $(JA) T = JA$ ，在此处 $() T$ 表示矩阵的转置^[1]

性质

假设一个 $2 n$ 阶的矩阵 $A$ 可写成如下形式的分块矩阵：

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 皆为 $n$ 阶矩阵，则“ $A$ 是汉弥尔顿矩阵”的这条件与“ $b$ 和 $c$ 这两个矩阵皆为对称矩阵，且 $a + d T = 0$ ”的这条件等价。^[1]^[2]另一个 $A$ 是汉弥尔顿矩阵时的这条件等价的条件为“存在一个对称矩阵 $S$ ，使得 $A = JS$ with $S$ ”^[2]^:34

从转置的定义，可轻易地得知说一个汉弥尔顿矩阵的转置也是汉弥尔顿矩阵，两个汉弥尔顿矩阵的和也是弥尔顿矩阵，一个汉弥尔顿矩阵的交换子也是汉弥尔顿矩阵。由所有同阶的汉弥尔顿矩阵组成的空间形式一个李代数，记作 $sp(2 n)$ ，而 $sp(2 n)$ 的维度则为 $2 n 2 + n$ 。与这个李代数相对应的李群是 $Sp(2 n)$ 这个辛群。 $Sp(2 n)$ 这个群可将之视作由辛矩阵所构成的一个群，其中若一矩阵 $A$ 为一辛矩阵，则它满足 $A T JA = J$ 这条件。因此，一个汉弥尔顿矩阵的指数是一个辛矩阵，而一个辛矩阵的对数是一个汉弥尔顿矩阵。^[2]^:34–36^[3]

实汉弥尔顿矩阵的特征多项式是个偶函数，因此若 $λ$ 是一个汉弥尔顿矩阵的特征向量，则 $-λ$ 、 $λ *$ 和 $-λ *$ 也都会是该矩阵的特征向量。^[2]^:45而这也说明了一个汉弥尔顿矩阵的迹会是零。

一个汉弥尔顿矩阵的平方是一个斜汉弥尔顿矩阵（skew-Hamiltonian matrix。若一个矩阵 $A$ 满足 $(JA) T = - JA$ 这条件，则它是一个斜汉弥尔顿矩阵）；另一方面，每个斜汉弥尔顿矩阵都是一个弥尔顿矩阵的平方。^[4]

在复矩阵上的推广

汉弥尔顿的定义可用两种方式推广到复矩阵上。一种方法是如上所述般定义说若一矩阵 $A$ 满足 $(JA) T = JA$ 这条件，则该矩阵是一个汉弥尔顿矩阵；^[1]^[4]另一个方式是利用 $(JA) * = JA$ 这条件，其中 $() *$ 表示矩阵的共轭转置。^[5]

汉弥尔顿算子

设 $V$ 为一个向量空间，在其上有着辛形式 $Ω$ 。那么当“ $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ 是对称的”这条件满足时，就称线性变换 $A:\;V\mapsto V$ 是一个对 $Ω$ 的汉弥尔顿算子（Hamiltonian operator），也就是说它当满足下式：

\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))

若选择一个基 $e 1, \dots, e 2 n$ in $V$ ，使得 $Ω$ 可写成 $\sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}$ 这样的形式，则一个对 $Ω$ 线性算子是汉弥尔顿算子，当且仅当在这个基中与此算子对应的矩阵是汉弥尔顿矩阵。^[4]

参照

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Ikramov, Khakim D., Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited, Linear Algebra and its Applications, 2001, 325: 101–107, doi:10.1016/S0024-3795(00)00304-9 .
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Meyer, K. R.; Hall, G. R., Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the $N$ -body problem, Springer, 1991, ISBN 0-387-97637-X .
^ Dragt, Alex J., The symplectic group and classical mechanics, Annals of the New York Academy of Sciences, 2005, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025 .
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Waterhouse, William C., The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 2005, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003 .
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 1981, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0 .

[ikramov-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Ikramov, Khakim D., Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited, Linear Algebra and its Applications, 2001, 325: 101–107, doi:10.1016/S0024-3795(00)00304-9 .

[meyer-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Meyer, K. R.; Hall, G. R., Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the $N$ -body problem, Springer, 1991, ISBN 0-387-97637-X .

[dragt-3] Dragt, Alex J., The symplectic group and classical mechanics, Annals of the New York Academy of Sciences, 2005, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025 .

[waterhouse-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Waterhouse, William C., The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 2005, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003 .

[paige-5] Paige, Chris; Van Loan, Charles, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 1981, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0 .

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