真分传递函数

真分传递函数（proper transfer function）为控制理论的术语，指的是其分子的多项式的次数不超过其分母的多项式的次数的传递函数。若分子的次数小于分母的次数，则称为严格真分传递函数（strictly proper transfer function）。

分母次数（极点个数）和分子次数（零点个数）之间的差即为传递函数的相对次数。

例子

以下的传递函数

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

是真分传递函数，因为

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\leq \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

是双真分（biproper）传递函数，因为

$\deg({\textbf {N}}(s))=4=\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

但不是严格真分传递函数，因为

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nless \deg({\textbf {D}}(s))=4$.

以下的函数不是真分传递函数（也不是严格真分传递函数）

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {s^{4}+n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

因为

$\deg({\textbf {N}}(s))=4\nleq \deg({\textbf {D}}(s))=3$.

以下的函数是严格真分传递函数

${\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {N}}(s)}{{\textbf {D}}(s)}}={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$

因为

$\deg({\textbf {N}}(s))=3<\deg({\textbf {D}}(s))=4$.

意涵

在频率接近无限大时，真分传递函数不会无上界的成长：

$|{\textbf {G}}(\pm j\infty )|<\infty$

在频率接近无限大时，严格真分传递函数会接近零（这对于所有实际的物理系统都成立）：

${\textbf {G}}(\pm j\infty )=0$

严格真分传递函数实部的积分也会为零。

参考资料

• Transfer functions - ECE 486: Control Systems Spring 2015, University of Illinois
• ELEC ENG 4CL4: Control System Design Notes for Lecture #9 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2004, Dr. Ian C. Bruce, McMaster University