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筛法基本引理

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数论上,筛法基本引理(fundamental lemma of sieve theory)指的是数个对于把筛法套用到特定问题上的过程进行系统化结果。哈巴施潭英语Heini Halberstam理希英语Hans-Egon Richert [1]:92–93写道:

筛法文献一个引人好奇的特性是尽管人们常用布朗筛法,但仅有少数人尝试为布朗‘定理’(如定理2.1)给出一个一般公式;而这结果就是,有令人惊讶多的论文不断地在许多细节上,重复布朗的论证。

贾盟(Diamond)与哈巴施潭英语Heini Halberstam[2]:42认为“基本引理”一词源自约拿·古必柳英语Jonas Kubilius

共通符号

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此条目中,我们使用以下的符号:

  • 是一个有个正整数的集合,而则是由可被除尽的正整数组成的子集。
  • 的函数,这些函数可用以估计中可被除尽的元素的个数。而我们有以下的公式:
因此,表示能被除尽的元素的大致密度;而则表示剩余项或误差。
  • 是一个质数的集合,而则是所有不大于的质数的乘积。
  • 中不为任何中不大于的质数除尽的元素的数量。
  • 是一个常数,又称作筛选密度(sifting density)。[3]:28这筛选密度会出现在以下的假设中,表示被每个质数筛掉的同余类数量的加权平均

组合筛法基本引理

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以下公式表示取自太能保母(Tenenbaum)。[4]:60,其他的公式表示则可见于哈巴施潭英语Heini Halberstam理希英语Hans-Egon Richert[1]:82、葛里维斯(Greaves)及[3]:92弗里兰英语John Friedlander伊万尼兹等人的著作。[5]:732–733

我们首先作出如下假设:

  • 是一个积性函数
  • 对于某个常数及任意满足的实数而言,筛选密度满足如次条件:

对于而言,我们有以下等式。此公式中的由使用者自行决定其数值:

在实际应用中,可对进行选取已得到最佳的结果。在这筛法中,其数值取决于容斥原理的使用层级数。

塞尔伯格筛法基本引理

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以下公式表示取自哈巴施潭英语Heini Halberstam理希英语Hans-Egon Richert的结果[1]:208–209;另一个公式表示可见于贾盟(Diamond)与哈巴施潭英语Heini Halberstam的结果。[2]:29

我们首先作出如下假设:

  • 是一个积性函数
  • 对于某个常数及任意满足的实数而言,筛选密度满足如次条件:
  • 对于一些小且固定的及所有的而言,
  • 对于所有无平方因子、且质因数位于中的而言,

使用上述的假定,塞尔伯格筛法基本引理跟组合筛法基本引理几乎相同。设,则有如次结论:

应当注意的是,在我们的处理中,不再是一个独立参数,而是一个取决于的参数。

另外值得注意的是,此处的误差项弱于上述组合筛法基本引理的误差项;而哈巴施潭英语Heini Halberstam理希英语Hans-Egon Richert对此写道说:“因此一直以来许多文献假定的‘塞尔伯格筛法总是比布朗筛法还要好’的这说法不全然为真。”

注解

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. 
  2. ^ 2.0 2.1 Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. 
  3. ^ 3.0 3.1 Greaves, George. Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41647-1. 
  4. ^ Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7. 
  5. ^ Friedlander, John; Henryk Iwaniec. On Bombieri's asymptotic sieve. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze. 4e série. 1978, 5 (4): 719–756 [2009-02-14]. (原始内容存档于2023-05-08).