绝热指数

绝热指数（英语：adiabatic index）是指等压热容（ $C_{P}$ ）和等容（等体积）热容（ $C_{V}$ ）的比值，也称为热容比（英语：heat capacity ratio）、比热比（英语：specific heat ratio）或绝热膨胀系数（英语：isentropic expansion factor），常用符号 $\gamma$ 或 $\kappa$ 表示。后者常在化学工程领域中使用，在机械工程领域中，会使用字母K表示绝热指数^[1]：

\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}

其中， $C$ 是气体的热容， $c$ 是气体比热容，而下标 $P$ 及 $v$ 分别表示在等压条件及等体积条件下的结果。

绝热指数也可表示为以下的形式

\gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}

其中， $C_{P,m}$ 是气体的等压摩尔热容，也就是一摩尔气体的等压热容， $C_{v,m}$ 是气体的等容摩尔热容。

绝热指数也是理想气体在等熵过程（准静态、可逆的绝热过程）下的多方指数，即以下体积和压强关系式中体积的次方：

pV^{\gamma }={\text{const}}

其中 $p$ 是压力而 $V$ 是体积。

理想气体的绝热指数

理想气体的热容不随温度变化。焓及内能分别为 $H=C_{p}T$ 及 $U=C_{V}T$ 。因此绝热指数也可以视为是焓及内能的比值：

\gamma ={\frac {H}{U}}

理想气体的定压莫耳热容及定容莫耳热容及气体常数（ $R$ ）之间有以下的关系

C_{p,m}-C_{V,m}=R\!

因此莫耳热容也可以用绝热指数（ $\gamma$ ）及气体常数表示：

C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}

和自由度的关系

理想气体分子的原子数和等容摩尔热容（ $C_{V,m}$ ）、等压摩尔热容（ $C_{p,m}$ ）及绝热指数 $\kappa$ 之间的关系
	$C_{V,m}$	$C_{p,m}$	$\kappa ={\frac {C_{p,m}}{C_{V,m}}}$
单原子气体	${\frac {3}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{3}}=1.{\overline {6}}$
双原子气体	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{5}}=1.4$
三原子气体	${\frac {6}{2}}\cdot R$	${\frac {8}{2}}\cdot R$	${\frac {4}{3}}=1.{\overline {3}}$

理想气体的绝热指数（ $\gamma$ ）和分子的自由度之间，有以下的关系：

\gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}

单原子气体的自由度是3，因此绝热指数为：

\gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67

,

双原子气体，在室温下的自由度为5（平移自由度3，旋转自由度2，室温下不考虑振动自由度），因此绝热指数为：

\gamma ={\frac {7}{5}}=1.4

.

空气主要由双原子气体组成，包括约78%的氮气（N₂）及约21%的氧气（O₂），室温下的干燥空气可视为理想气体，因此其绝热指数为：

\gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4

.

以上数据和实际量测而得的数据1.403相当接近。

热力学的关系

在一些特定的工程应用中（如计算气体经过导管或阀的流速）， $C_{p}-C_{v}=nR$ （n为莫耳数）的关系不够准确，因此定体积热容 $C_{v}$ 需要由实测求得，若依下式计算定体积热容 $C_{v}$ ，即得求得精确的绝热指数 ${\frac {C_{p}}{C_{v}}}$ ：

C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}

其中 $C_{p}$ 的数值可以由查表求得。

上述的定义可由来推导严谨的状态方程式（例如Peng-Robinson状态方程式），这些方程式所求得的值和实测值非常接近，因此定体积热容或绝热指数可直接用方程式计算，不需查表。也可以利用有限差分法来计算其数值。

各种气体的绝热指数

各种气体的绝热指数^[2]^[3]
温度	气体	γ	温度	气体	γ	温度	气体	γ
−181°C	H₂	1.597	200°C	干空气	1.398	20°C	NO	1.400
−76°C		1.453	400°C		1.393	20°C	N₂O	1.310
20°C		1.410	1000°C		1.365	−181°C	N₂	1.470
100°C		1.404	2000°C		1.088	15°C	N₂	1.404
400°C		1.387	0°C	CO₂	1.310	20°C	Cl₂	1.340
1000°C		1.358	20°C		1.300	−115°C	CH₄	1.410
2000°C		1.318	100°C		1.281	−74°C		1.350
20°C	He	1.660	400°C		1.235	20°C		1.320
20°C	H₂O	1.330	1000°C		1.195	15°C	NH₃	1.310
100°C		1.324	20°C	CO	1.400	19°C	Ne	1.640
200°C		1.310	−181°C	O₂	1.450	19°C	Xe	1.660
−180°C	Ar	1.760	−76°C		1.415	19°C	Kr	1.680
20°C	Ar	1.670	20°C		1.400	15°C	SO₂	1.290
0°C	干空气	1.403	100°C		1.399	360°C	Hg	1.670
20°C		1.400	200°C		1.397	15°C	C₂H₆	1.220
100°C		1.401	400°C		1.394	16°C	C₃H₈	1.130

参照

参考

^ Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
^ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
^ Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524

[1] Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.

[2] White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill

[3] Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524

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