在拓扑学中,拓扑空间
的覆叠空间是一对资料
,其中
是拓扑空间,
是连续的满射,并存在
的一组开覆盖
![{\displaystyle X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379818c0094b87b85bb799a3412d3204c634548)
使得对每个
,存在一个离散拓扑空间
及同胚:
,而且
是对第一个坐标的投影。
满足上述性质的
称为覆叠映射。当
连通时,
的基数是个常数,称为覆叠的次数或重数。
空间
的覆叠构成一个范畴
,其对象形如
,从
到
态射是连续映射
,且
。
覆叠空间的例子:
- 考虑映射
,
。对任意
,取其开邻域
![{\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072cc337299d77fd03d9dd05705ce0fe05db0cad)
![{\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb58ca8fab20bd487c8d4b77eaa44698571676ad)
由此可见
是覆叠映射。
- 莫比乌斯带的二重复叠空间是
。
局部性质
对于任何一个覆叠
都是一个局部同胚,这就是说,对任意的
,都存在一个在C中的开邻域U,和p(c)在X中的开邻域V,使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的,则在整体上也成立,并且覆叠p变为同胚。
纤维上的同胚
万有覆叠空间[编辑]
连通空间
的万有覆叠空间(若其存在)是范畴
的初始对象
,换言之,对每个覆叠
,存在唯一的连续映射
使得
。万有覆叠若存在则必唯一。之前的
便是一例。
若要求
局部道路连通且局部单连通,则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形和单纯复形。在同样前提下,覆叠
是万有覆叠的充要条件是基本群
。
正则覆叠及主丛[编辑]
以下同样要求
连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射
,选定
。在
中的自同构群
在纤维
上的作用是自由的(即:
是单射),对于
的不同选取,此作用仅差个自然的同构。
若
的作用是传递的,则称
为正则覆叠。万有覆叠必正则,反之则不然。按照纤维丛的观点,覆叠空间正是离散纤维的纤维丛,正则覆叠对应到主丛。