转动惯量 常见符号
I 国际单位 kg·m2 其他单位
lbf·ft·s2 单位量纲 M L 2 从其他物理量的推衍
I
=
L
ω
{\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}}
量纲 M L 2
走钢丝 者手里端着长杆，为了靠转动惯量保持平衡，对抗转动运动。图为撒姆尔·迪克森 （Samuel Dixon）于1890年穿过尼加拉河的相片。在经典力学中，转动惯量 又称惯性矩 （英语：Moment of inertia ），通常以
I
{\displaystyle I}
[ 1] 国际单位制 为
k
g
⋅
m
2
{\displaystyle \mathrm {kg\cdot m^{2}} }
惯性 大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定对于这物体绕着这转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。
转动惯量在转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量 ，描述角动量 、角速度 、力矩 和角加速度 等数个量之间的关系。
飞轮 拥有很大的转动惯量，可以用来使机械运转顺滑对于一个质点 ，
I
=
m
r
2
{\displaystyle I=mr^{2}}
m
{\displaystyle m}
质量 ，
r
{\displaystyle r}
对于一个有多个质点的系统，
I
=
∑
i
=
1
N
m
i
r
i
2
{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}}
对于刚体 ，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分 计算其转动惯量，
I
=
∫
ρ
r
2
d
V
{\displaystyle I=\int {\rho r^{2}}dV}
ρ
{\displaystyle \rho }
d
V
{\displaystyle dV}
在直线运动，
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
τ
=
I
α
{\displaystyle {\tau }=I{\alpha }}
τ
{\displaystyle {\tau }}
力矩 ，
α
{\displaystyle {\alpha }}
角加速度 。
一般物件的动能 是
K
=
1
2
m
v
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}
v
{\displaystyle v}
m
{\displaystyle m}
v
=
ω
r
{\displaystyle v=\omega r}
m
=
I
r
2
{\displaystyle m={\frac {I}{r^{2}}}}
得出
K
=
1
2
(
I
r
2
)
(
ω
r
)
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}\left({\frac {I}{r^{2}}}\right)(\omega r)^{2}}
简化得
K
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
平行轴定理 是说，如果一个质量为
m
{\displaystyle m}
A
{\displaystyle A}
I
A
{\displaystyle I_{A}}
B
{\displaystyle B}
A
B
{\displaystyle AB}
B
{\displaystyle B}
A
B
{\displaystyle AB}
d
{\displaystyle d}
I
B
=
I
A
+
m
d
2
{\displaystyle I_{B}=I_{A}+md^{2}}
垂直轴定理 是说，如果一个平面物件，以该平面内两条互相垂直、交于
A
{\displaystyle A}
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
2
{\displaystyle I_{2}}
A
{\displaystyle A}
I
3
=
I
1
+
I
2
{\displaystyle I_{3}=I_{1}+I_{2}}
伸展定则 是说，如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移，该物件对该轴的转动惯量不变。
对于三维空间中任意一参考点
Q
{\displaystyle Q}
直角坐标系
Q
x
y
z
{\displaystyle Qxyz}
惯性张量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
=
[
I
x
x
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
]
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}
（1） 这里，矩阵的对角元素
I
x
x
{\displaystyle I_{xx}\,\!}
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
转动惯量 。设定
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
Q
{\displaystyle Q}
I
x
x
=
d
e
f
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
I
y
y
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
（2）
I
z
z
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
矩阵的非对角元素，称为惯量积 ，以方程定义为
I
x
y
=
I
y
x
=
d
e
f
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
d
e
f
−
∫
x
z
d
m
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!}
（3）
I
y
z
=
I
z
y
=
d
e
f
−
∫
y
z
d
m
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!}
图A 如图
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
直角坐标系
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
L
G
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
v
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!}
这里，
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
计算
x
{\displaystyle x}
L
G
x
=
∫
y
(
ω
×
r
)
z
−
z
(
ω
×
r
)
y
d
m
=
∫
y
ω
x
y
−
y
ω
y
x
+
z
ω
x
z
−
z
ω
z
x
d
m
=
∫
ω
x
(
y
2
+
z
2
)
−
ω
y
x
y
−
ω
z
x
z
d
m
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!}
相似地计算
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
L
G
x
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
{\displaystyle L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!}
L
G
y
=
−
ω
x
∫
x
y
d
m
+
ω
y
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
z
∫
y
z
d
m
{\displaystyle L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!}
L
G
z
=
−
ω
x
∫
x
z
d
m
−
ω
y
∫
y
z
d
m
+
ω
z
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
如果，我们用方程（1）设定对于质心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
(
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
)
{\displaystyle (\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!}
L
G
=
I
G
ω
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（4） 平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的坐标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的坐标系统。假若已知刚体对于质心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
G
{\displaystyle G}
(
x
¯
,
y
¯
,
z
¯
)
{\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}
O
{\displaystyle O}
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
x
x
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
I
y
y
=
I
G
,
y
y
+
m
(
x
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
（5）
I
z
z
=
I
G
,
z
z
+
m
(
x
¯
2
+
y
¯
2
)
{\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}
I
x
y
=
I
y
x
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
I
G
,
x
z
−
m
x
¯
z
¯
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}
（6）
I
y
z
=
I
z
y
=
I
G
,
y
z
−
m
y
¯
z
¯
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}
证明：
图B a)参考图B，让
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
{\displaystyle G}
O
{\displaystyle O}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
z
=
z
′
+
z
¯
{\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}
依照方程（2），
I
G
,
x
x
=
∫
(
y
′
2
+
z
′
2
)
d
m
{\displaystyle I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!}
I
x
x
=
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
所以，
I
x
x
=
∫
[
(
y
′
+
y
¯
)
2
+
(
z
′
+
z
¯
)
2
]
d
m
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
b)依照方程（3），
I
G
,
x
y
=
−
∫
x
′
y
′
d
m
{\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}
I
x
y
=
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}
因为
x
=
x
′
+
x
¯
{\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
I
x
y
=
−
∫
(
x
′
+
x
¯
)
(
y
′
+
y
¯
)
d
m
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得对于点
O
{\displaystyle O}
图C 参视图C，设定点
O
{\displaystyle O}
Q
{\displaystyle Q}
Q
{\displaystyle Q}
O
{\displaystyle O}
O
Q
{\displaystyle OQ}
I
O
Q
=
∫
ρ
2
d
m
=
∫
|
η
×
r
|
2
d
m
{\displaystyle I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!}
这里，
ρ
{\displaystyle \rho \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
单位矢量 ，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
展开叉积，
I
O
Q
=
∫
[
(
η
y
z
−
η
z
y
)
2
+
(
η
x
z
−
η
z
x
)
2
+
(
η
x
y
−
η
y
x
)
2
]
d
m
{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}
稍微加以编排，
I
O
Q
=
η
x
2
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
+
η
y
2
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
+
η
z
2
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
−
2
η
x
η
y
∫
x
y
d
m
−
2
η
x
η
z
∫
x
z
d
m
−
2
η
y
η
z
∫
y
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!}
特别注意，从方程（2）、（3），这些积分项目，分别是刚体对于
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
O
Q
=
η
x
2
I
x
x
+
η
y
2
I
y
y
+
η
z
2
I
z
z
+
2
η
x
η
y
I
x
y
+
2
η
x
η
z
I
x
z
+
2
η
y
η
z
I
y
z
{\displaystyle I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!}
（7） 如果已经知道，刚体对于直角坐标系的三个坐标轴，
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
O
Q
{\displaystyle OQ}
因为惯性张量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
实值 的三阶对称矩阵 ，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵 [ 2] 特征值 必为正实数，而且三个特征矢量 必定互相正交 。
换另外一种方法，我们需要解析特征方程
I
ω
=
λ
ω
{\displaystyle \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}=\lambda \;{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（8） 也就是以下行列式 等于零的三次方程 ：
det
(
I
−
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
λ
)
=
|
I
x
x
−
λ
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
−
λ
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
−
λ
|
=
0
{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}
。 这方程的三个根
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\,\!}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}\,\!}
λ
3
{\displaystyle \lambda _{3}\,\!}
方向余弦 方程，
ω
x
2
+
ω
y
2
+
ω
z
2
=
1
{\displaystyle \omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2}=1\,\!}
我们可以求到特征矢量
ω
^
1
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\,\!}
ω
^
2
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\,\!}
ω
^
3
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{3}\,\!}
惯量主轴 ；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量 。
假设
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
=
(
I
x
ω
x
,
I
y
ω
y
,
I
z
ω
z
)
{\displaystyle \mathbf {L} =(I_{x}\omega _{x}\;,\;I_{y}\omega _{y}\;,\;I_{z}\omega _{z})\,\!}
刚体的动能
K
{\displaystyle K\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
∫
v
2
d
m
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int \ v^{2}\ dm\,\!}
这里，
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}\,\!}
v
{\displaystyle v\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
平移运动 的动能，第二个项目是刚体旋转运动 的动能
K
′
{\displaystyle K\,\!'\,\!}
K
′
=
1
2
∫
(
ω
×
r
)
⋅
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}\int \ ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
这里，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
应用矢量恒等式 ，可以得到
K
′
=
1
2
ω
⋅
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
=
1
2
ω
⋅
L
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} \,\!}
或者，用矩阵来表达，
K
′
=
1
2
ω
T
I
ω
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\operatorname {T} }\ \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
所以，刚体的动能为
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
x
ω
x
2
+
I
y
y
ω
y
2
+
I
z
z
ω
z
2
+
2
I
x
y
ω
x
ω
y
+
2
I
x
z
ω
x
ω
z
+
2
I
y
z
ω
y
ω
z
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{xx}{\omega _{x}}^{2}+I_{yy}{\omega _{y}}^{2}+I_{zz}{\omega _{z}}^{2}+2I_{xy}\omega _{x}\omega _{y}+2I_{xz}\omega _{x}\omega _{z}+2I_{yz}\omega _{y}\omega _{z})\,\!}
（9） 假设
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
ω
x
2
+
I
y
ω
y
2
+
I
z
ω
z
2
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{x}{\omega _{x}}^{2}+I_{y}{\omega _{y}}^{2}+I_{z}{\omega _{z}}^{2})\,\!}
（10） 细长棒子的转动惯量是
1
12
m
ℓ
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}
当自转轴移到末端，转动惯量是
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}
利用线密度
λ
=
m
ℓ
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\lambda ={\frac {m}{\ell }}\end{smallmatrix}}}
质心 （CM）自转的转动惯量。
m
=
λ
x
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}m=\lambda x\end{smallmatrix}}}
d
m
=
λ
d
x
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}dm=\lambda dx\end{smallmatrix}}}
I
CM
=
∫
r
2
d
m
=
λ
∫
−
ℓ
/
2
ℓ
/
2
x
2
d
x
=
m
ℓ
(
1
3
x
3
)
|
−
ℓ
/
2
ℓ
/
2
=
1
12
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{CM}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{-\ell /2}^{\ell /2}x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{-\ell /2}^{\ell /2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}}
当自转轴移到末端，转动惯量变成：
I
end
=
∫
r
2
d
m
=
λ
∫
0
ℓ
x
2
d
x
=
m
ℓ
(
1
3
x
3
)
|
0
ℓ
=
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{end}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{0}^{\ell }x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{0}^{\ell }={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}
I
end
=
I
CM
+
M
D
2
=
1
12
m
ℓ
2
+
m
(
ℓ
2
)
2
=
1
3
m
ℓ
2
{\displaystyle I_{\text{end}}=I_{\text{CM}}+MD^{2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}+m\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}
^ 普通物理学（修订版，化学数学专业用）。汪昭义主编。华东师范大学出版社.P81.三、转动惯量.ISBN 978-7-5617-0444-8 /N·018
^ O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。361. ISBN 0-15-518558-6（英语） .
Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3
线性（平动）的量
角度（转动）的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s 位移积分 : A m s T
时间 : t s
—
距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立体角 : Ω rad2 , sr
T−1
频率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面积速率 : ν m2 s−1 T−1
频率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
质量 : m kg ML2
转动惯量 : I m2
MT−1
动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角动量 : L 角冲量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4765c7574ca62ab8599e34b3640457ac9bfceded)
![{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004d8b7865785dea30adfcb6c8e33b0a6f72d83c)
![{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bcc3aec9a85c1c783d6961e1c16eff0996ea0c)
