模块:Complex Number/doc

本模块为Lua定义了一套复数（如虚数、四元数）运算的系统，可提供其他模块调用使用，而若要直接在模板或条目中使用可通过Module:Complex Number/Calculate‎或{{复变运算}}来完成。

关于本模块创建动机详见Module:TemplateParameters#设计缘由（亦可参考Template_talk:Root）。

模块内容

本模块有4套数学数据结构的定义以及对应的数学运算库：

.cmath

复数的数学数据结构及运算的系统

.qmath

四元数的数学数据结构及运算的系统

.math

实数运算系统的扩展

.bmath

布尔代数的数学数据结构及运算的系统

使用方法

1. 初始化数学库
   • local 自定义函数库名称 = require("Module:Complex Number").函数库名称.init()

     例如：local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()

2. 初始化指定数学结构的数字
   • local 变量名称 = 自定义函数库名称.constructor("描述数字的字符串")

     例如：local num1 = cmath.constructor("2+3i")

3. 执行运算

   例如：

   local num1 = cmath.constructor("2+3i")
   local num2 = cmath.constructor("4+5i")
   print(num1 * num2)
   

   输出：-7+22i

   或者使用函数库内容：

   local num1 = cmath.constructor("i")
   print(cmath.sqrt(num1))
   

   输出：0.70710678118655+0.70710678118655i

• 若需要在模板中使用，请参阅{{复变运算}}

原理

复数可分为实部和虚部，此特性可以通过Lua的table功能（{real=..., imag=...,}）来实现，同时通过复写Metatables来完成其各运算符（如+、-、*、/）来实现复变的基本运算：

p.ComplexNumberMeta = {
	__add = function (op1, op2) 
		return p.ComplexNumber(op1.real + op2.real, imag = op1.imag + op2.imag)
	end,
	--...
}
function p.ComplexNumber(real, imag)
	local complexNumber = {real = op1.real + op2.real, imag = op1.imag + op2.imag}
	setmetatable(complexNumber,p.ComplexNumberMeta)
	return complexNumber
end

如此一来，只要是设置过Metatables的含实部和虚部的table都可以直接进行复变量的运算。

剩下的部分就是完善数学函数库math.xxx的各函数。

比较

函数库		默认的math	.cmath	.qmath	.math	.bmath	.tagmath 位于Module:Complex Number/Calculate‎
说明		Lua默认提供的math程序库	复数（$a+bi$）专用程序库	四元数（$a+bi+cj+dk$）专用程序库	默认math的扩展，定义了上方两个程序库中的功能	简单的布尔代数	会运算成<math></math>的程序库
函数库初始化方式		无须初始化	cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init();	qmath = require("Module:Complex Number").qmath.init();	math = require("Module:Complex Number").math.init();	bmath = require("Module:Complex Number").bmath.init();	tagmath = require("Module:Complex Number/Calculate").tagmath.init();
数字建构/初始化方式		tonumber("10"); 10	cmath.toComplexNumber("1+i"); cmath.getComplexNumber(1,1);	qmath.toQuaternionNumber("i+j+k"); qmath.getQuaternionNumber(0,1,1,1);	tonumber("10"); 10	bmath.toBoolean("yes");	tagmath.toTagMath("a");
四则运算	加法 a + b				lua原生支持	逻辑或	输出$a+b$
	减法 a - b				lua原生支持		输出$a-b$
	乘法 a * b				lua原生支持	逻辑与	输出$a\times b$
	除法 a / b			只能除实数	lua原生支持	不存在	输出$a\div b$
	模除 a % b			以高斯符号定义	lua原生支持	不存在
一元运算	相反数 -a				lua原生支持	逻辑非	输出$-a$
	tostring				lua原生支持
e常量 e							输出$e$
圆周率 pi					lua原生支持		输出$\pi$
虚数单位 i							输出$i$
j单位 j							输出$j$
k单位 k							输出$k$
绝对值 abs(a)					lua原生支持	回传1或0	输出$\left\vert a\right\vert$
符号函数 sgn(a)						回传1或0	输出$\operatorname {sgn} a$
共轭复数 conjugate(a)					原式输出。		输出${\overline {a}}$
辐角 arg(a)							输出$\arg a$
平方根 sqrt(a)							输出${\sqrt {a}}$
倒数 inverse(a)							输出${a}^{-1}$
分数 div(a,b)							输出${\frac {a}{b}}$
数字部件	实部 re(a)						输出$\operatorname {Re} {a}$
	虚部 im(a)				恒为0		输出$\operatorname {Im} {a}$
	非实部 nonRealPart(a)				恒为0	恒为0	即将到来
	标量部
	向量部
	部件向量 tovector(a)				单一元素向量
内积 dot(a,b)					与乘法相同		输出$a\cdot b$
外积 outer(a,b)		不存在	恒为0		不存在	不存在	即将到来
幂 a ^ b			只能pow(a,b)	只能pow(a,b)	lua原生支持		只能pow(a,b)
指对数函数	指数 pow(a,b)				lua原生支持		输出$a^{b}$
	自然对数 log(a)				lua原生支持	不存在	输出$\ln a$
	自然指数 exp(a)				lua原生支持	不存在	输出$\exp a$
	cis cis(a)					不存在	输出$\operatorname {cis} a$
高斯符号	地板 floor(a)				lua原生支持	不存在	输出$\lfloor a\rfloor$
	天花板 ceil(a)				lua原生支持	不存在	输出$\lceil a\rceil$
	数值修约 round(a)					不存在	即将到来
	截尾函数 trunc(a,b)					不存在	输出$\mathrm {trunc} (a,b)$
三角函数	正弦 sin(a)				lua原生支持	不存在	输出$\sin a$
	余弦 cos(a)				lua原生支持	不存在	输出$\cos a$
	正切 tan(a)				lua原生支持	不存在	输出$\tan a$
	余切 cot(a)					不存在	输出$\cot a$
反三角函数	反正弦 asin(a)				lua原生支持	不存在	输出$\arcsin a$
	反余弦 acos(a)				lua原生支持	不存在	输出$\arccos a$
	反正切 atan(a)				lua原生支持	不存在	输出$\arctan a$
	反余切 acot(a)					不存在	输出$\operatorname {arccot} a$
双曲函数	双曲正弦 sinh(a)				lua原生支持	不存在	输出$\sinh a$
	双曲余弦 cosh(a)				lua原生支持	不存在	输出$\cosh a$
	双曲正切 tanh(a)				lua原生支持	不存在	输出$\tanh a$
	双曲余切 coth(a)					不存在	输出$\coth a$
反双曲函数	双曲反正弦 asinh(a)					不存在	输出$\operatorname {arcsinh} a$
	双曲反余弦 acosh(a)					不存在	输出$\operatorname {arccosh} a$
	双曲反正切 atanh(a)					不存在	输出$\operatorname {arctanh} a$
	双曲反余切 acoth(a)					不存在	输出$\operatorname {arccoth} a$

扩展函数

本模块仅为这些数学结构定义一些基本运算（见上表）。一些较复杂的运算可通过调用Module:Complex_Number/Functions来完成。本模块提供的3个部分（cmath、qmath、math）皆支持Module:Complex_Number/Functions。

使用方法

mathlib = require("Module:Complex Number/Functions")._init(mathlib, numberConstructer)

其中，mathlib为已初始化的数学函数库（如cmath、qmath、math），numberConstructer为对应该数学函数库数字结构的构造函数函数。

所回传的新mathlib将会包含Module:Complex_Number/Functions中已定义的所有扩展函数。

注：详细使用条件参见Module:Complex_Number/Functions/doc#使用条件，说明了函数库须具备那些条件方能使用此扩展。

定义新的数学库

主页面：Module:Complex_Number/Example/doc

Module:Complex Number是一系列数学运算库，并可以相互兼容。当然也能定义其他兼容的程序库，但需要符合特定条件，例如需要实现一些需求函数。详细内容可以参考示例数学库Module:Complex Number/Example。

若要定义一个新的Module:Complex Number系列函数库需要实现一个新的对象，并实现其Metatables中的运算符。

定义数学数据结构

参阅Example的第85行

数学数据结构需要定义成一个table，并以table来定义或表达所需要的数字。即使数字只有单一对象，也许使用table因为这样才能通过实现Metatables来完成Module:Complex Number系列函数库所需的相关功能。

• numberType：本数学数据结构的类型名称（字符串），用于Module:Complex Number系列函数库的识别（参阅Example的第92行）
• update()：更新结构数值的成员函数（参阅Example的第89行）
• clean()：去除过小值或误差值的成员函数，并返回结果。若无此需求，直接返回自身即可。（参阅Example的第90行）

实现metatable

参阅Example的第47行

需定义Metatables的 __add（加法）、 __sub（减法）、 __mul（乘法）、 __div（除法）、 __mod（取余数）、 __unm（相反数）、 __eq（相等判断）、 __tostring（以字符串表达本对象）

定义数学数据结构的构造函数

参阅Example的第85行及第95行

由于数学数据结构需要定义为table因此需要有构造函数来赋予该结构初值。构造函数需要完成以下步骤：

• 读取输入的对象或字符串将其存入table对象中（参阅Example的第91行）
• 设置table的metatable为刚才定义的metatable（参阅Example的第88行）
• 定义其他所需的成员变量或函数

定义数学库的初始化函数

参阅Example的第101行

数学库必须是一个独立对象，所有的函数皆需定义在数学函数库对象下（包括数学数据结构的构造函数）。初始化数学库的函数名称必为init，当中需要定义以下内容：

• 各项常量的定义（参阅Example的第102行）
• numberType成员函数定义为Module:Complex Number中的_numberType（参阅Example的第106行）
• constructor成员函数设置为数学结构的构造函数（参阅Example的第107行）
• elements成员变量设置为单位元的清单（参阅Example的第108行）

完成数学库的定义

视情况定义列于Module:Complex_Number/doc#比较中的各项函数（如需支持Module:Complex_Number/Functions的情况）。

其他函数库

require("Module:Complex Number").cmath

复变函数库

require("Module:Complex Number").qmath

四元数函数库

require("Module:Complex Number").math

实数函数库扩展

require("Module:Complex Number").bmath

布尔代数函数库

require("Module:Complex Number/Calculate").tagmath

输出为<math></math>的运算库

require("Module:Complex Number/Matrix").mmath

矩阵函数库

require("Module:Complex Number/Dual Number").dumath

二元数函数库

require("Module:Complex Number/Dual Number").ducmath

二元复数函数库

require("Module:Complex Number/Octonion").omath

八元数函数库

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmath.init(math_lib)

将指定的函数库math_lib套用凯莱-迪克森结构形成新的函数库（无法自我嵌套）

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").sdmath

八元数套用凯莱-迪克森结构后的形成新的十六元数函数库

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmathOctonion

预先套用凯莱-迪克森结构的八元数后的函数库（可作为十六元数使用）

require("Module:Complex Number/CayleyDickson").cdmathSedenion

预先套用凯莱-迪克森结构的十六元数后的函数库（可作为三十二元数使用）

相关页面

• Module:Complex_Number/Solver：求解器和部分共享的函数。