凸集

凸集

非凸集（凹集）

在点集拓扑学与欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一个点集合，其中每两点之间的线段点都落在该点集合中。

凸集实例

• 区间是实数的凸集。
• 依据定义，中空的圆形称为圆（circle），它不是凸集；实心的圆形称为圆盘（disk），它是凸集。
• 凸多边形是欧几理得平面上的凸集，它们的每只角都小于180度。
• 单纯形是凸集，对于单纯形的顶点集合来说，单纯形是它们的最小凸集，所以单纯形也是一个凸包。
• 定宽曲线是凸集。

凸集的延森不等式定义

在度量几何中，琴生不等式（Jensen's inequality）为凸集给出一个最健全的解释，而不必牵涉到二阶导数：

假设$S$为在实或复向量空间的集。若对于所有$x,y\in S$和所有$t\in [0,1]$，有$(1-t)x+ty\in S$，则称$S$为凸集。

简单而言，就是$S$中的任何两点之间的直线段都属于$S$。因此，凸集是一个连通空间。

特殊凸集

特殊凸集是特别给了名称的凸集，它们可能是具有额外性质的凸集，或是在某种定义下的凸集（非一般定义中的凸集）。

具有额外性质的凸集

• 绝对凸集：若$S$既是凸集又是平衡集，则称$S$为绝对凸的。

在某种定义下的凸集

• 星形凸集：若集$S$中存在一点$x_{0}$，使得由$x_{0}$到$S$中任何一点的直线段都属于$S$，则称$S$为星形域或星形凸集。星形域是简单连通的。

性质

若$S$是凸集，对于任意$u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S$，及所有非负数$\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$满足$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$，都有 $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S$。这个向量称为$u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$的凸组合。

非欧几何的凸集

对于非欧平面，可用测地线来取代在欧几理德凸集的定义内直线段。

参见

• 凸函数
• 凸包