三角形 ABC 为黑色,从 P 延伸出去的三条垂线为蓝色,由此得到的垂足三角形 LMN 为红色
在几何学上,垂足三角形(英语:Pedal triangle)是将一个点投影至三角形的边上所得到的三角形。
具体地说,考虑一个三角形
,选定一个异于顶点
的点
。通过
对三角形的三边做垂直线,将这些垂直线与
的交点分别命名为
,则三角形
是一个垂足三角形。
如果
不是钝角三角形,则其垂足三角形
的内角角度分别为
、
、
。[1]
若
点位于三角形
的特殊中心上,则有一些特殊情况:
- 若
是
的垂心,则
是垂心三角形(英语:Orthic triangle)。
- 若
是
的内心,则
是
之内切圆的三个切点。
- 若
是
的外心,则
是中点三角形。
若
点以三角形
为基准的三线坐标是
,则其垂足三角形的顶点
坐标为:
![{\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686942632b1e5493e432109f6680eb7ce3dcd408)
![{\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d76d7fdddbdc7e028c1fffd2649c63f145e5bf1)
![{\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ac409045efee2e9d51aa2f5b7943ce56f00548)
相关定理[编辑]
P 在外接圆上的情形,此时垂足三角形退化为一条线(红色)
卡诺定理:红色区域与蓝色区域的面积相等
西姆松定理[编辑]
若
点位于
的外接圆上,则
共线,反之亦然。这条线被称为垂足线(英语:Pedal line),又称为西姆松线(英语:Simson line)。
卡诺定理[编辑]
六点满足以下等式:[2]
![{\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167fea38c015107cfcc20a65e412a799a7d9e125)
反垂足三角形[编辑]
三角形 ABC 为红色,从 P 延伸至顶点的三条线为蓝色,由此得到的反垂足三角形 LMN 为黑色
过
作一条垂直于
的直线,过
作一条垂直于
的直线,过
作一条垂直于
的直线,则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形(英语:Antipedal triangle)。在这个反垂足三角形中,设与
相对的顶点为
,与
相对的顶点为
,与
相对的顶点为
。
是
在
点上的垂足三角形,这也是其名称的由来。
若
点以三角形
为基准的三线坐标是
,则反垂足三角形的顶点
坐标为:[3]
![{\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbbde39d7c3d6145519e905b77530d5f0b61faa)
![{\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efce6d3dbd63d55f969342895a6d8eff55eb579)
![{\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c5a1b6346719eed660ba269c24fc860b87ea05)
一个特殊的例子是,如果
点位于内心,则该反垂足三角形以
的三个旁心为顶点。
参考资料[编辑]