极限点

极限点（英语：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的点。

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

定义

定义 — 
$(X,\,\tau )$ 为拓扑空间 ， $A\subseteq X$ 为$X$的子集；若对$X$ 的某点$x\in X$，所有包含 $x$ 的开集也有 $A$ 内的非 $x$ 点，即：

$(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}$

则称 $x$ 为 $A$ 的极限点（limit point）。由 $A$ 的所有极限点所组成的集合称为 $A$ 的导集（derived set），通常记为$A^{\prime }$，换句话说：

$A^{\prime }:={\bigg \{}x\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}{\bigg \}}$

以上的定义来自于“总是可以找到一组$A$ 内的点去逼近$x$ ”的粗略想法，但一般的拓扑空间的不一定有像距离这样的工具来比较“开集的大小”，若想以极限点严谨地描述“可沿著 $A$ 去逼近点$x$”的话，还需要对$(X,\,\tau )$做额外的假设。

特殊类型的极限点

定义 — 
$(X,\,\tau )$ 为拓扑空间 ， $A\subseteq X$ 为$X$的子集：

若包含$x$的所有开集都包含可数个$A$ 的点，则称$x$是$A$的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

若包含$x$ 的所有开集都包含不可数个$A$的点，则称$x$是$A$的缩合点（condensation point）。

度量空间的聚集点

度量空间$M$ 自然的带有由度量$d:M\times M\to \mathbb {R} ^{+}$生成的拓扑 $\tau _{d}$ ；更仔细地说，是由以开球为元素的拓扑基所生成的拓扑，也就是$\tau _{d}$里的开集都是某群开球的联集。这样对开球定义极限点的话，就会等价于对$\tau _{d}$定义（因为属于某个开球等价于属于某开集），换句话说，对度量空间可以作如下定义：

定义 — 
$(M,\,d)$是度量空间 ，且 $A\subseteq M$ ；若 $x\in M$ ，且对所有 $\epsilon >0$，存在 $a\in A$ 使得 $0<d(x,\,a)<\epsilon$ ，也就是

$(x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]$

这样称 $x$ 是 $A$  的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）

直观上可理解为“可以用 $A$ 里的点（以度量 $d$ ）无限制地逼近$x$”。应用上， $x$ 为定义域的聚集点也是函数极限能在 $x$ 上有定义的前提条件。

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价

性质

• 关于极限点的性质：$x$是$S$的极限点，当且仅当它属于$S$ \ {$x$}的闭包。
  • 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是$S$的极限点，当且仅当所有$x$的邻域都包含一个非$x$的点属于S，当且仅当所有$x$的邻域含有一个点属于$S$\ {x}，当且仅当$x$属于$S\ {''x''}$的闭包。

• $S$的闭包具有下列性质：$S$的闭包等于$S$和其导集的并集。
  • 证明：（从左到右）设$x$属于$S$的闭包。若$x$属于S，命题成立。若$x\notin S$，则所有$x$的邻域都含有一个非$x$的点属于$S$；也就是说，x是$S$的极限点，$x\in S'$。（从右到左）设$x$属于S，则明显地所有$x$的邻域和$S$相交，所以$x$属于$S$的闭包。若$x$属于L(S)，则所有$x$的邻域都含有一个非$x$的点属于S，所以$x$也属于$S$的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合$S$是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
  • 证明1：S是闭集，当且仅当$S$等于其闭包，当且仅当$S$=$S$∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
  • 证明2：设$S$是闭集，$x$是$S$的极限点。则$x$必须属于S，否则$S$的补集为$x$的开邻域，和$S$不相交。相反，设$S$包含所有它的极限点，需要证明$S$的补集是开集。设$x$属于$S$的补集。根据假设，x不是极限点，则存在$x$的开邻域U和$S$不相交，则U在$S$的补集中，则$S$的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。
  • 证明：若$x$是孤点，则{x}是只含有$x$的$x$的邻域。

• 空间$x$是离散空间，当且仅当$x$的子集都没有极限点。
  • 证明：若$x$是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若$x$不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则$x$是$x$的极限点。

• 若空间$x$有密着拓扑，且$S$是$x$的多于一个元素的子集，则$x$的所有元素都是$S$的极限点。若$S$是单元素集合，则所有$x$\$S$的点仍然是$S$的极限点。
  • 说明：只要$S$\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当$S$是空集或$x$是$S$的唯一元素时，它的闭包才是空集。
• $X$为T₁空间，则 $x$ 为$A\subseteq X$ 的极限点等价于 $x$ 的每个邻域皆包含无限多个 $A$ 的点。

引用

• limit point. PlanetMath.