正扭歪无限面体

在几何学中，正扭歪^[1]^[2]无限面体（英语：Regular skew apeirohedron），又称扭歪正多面体（日语：ねじれ正多面体）^{[注 1]}是一种顶点并非全部共面的正无限面体，即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图。

历史

关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的扭歪无限面体。

考克斯特找到了三种形式，他们具有平的面和扭歪的顶点图，两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是 $m$ 个正 $l$ 边形的公共顶点，且存在正 $n$ 边形的空洞。

若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体，则其施莱夫利符号存在下列等式：

2 sin( $π$ /l) · sin( $π$ /m) = cos( $π$ /n)

三维空间的正扭歪无限面体

三维空间中有三种扭歪无限面体，分别为四角六片四角孔扭歪无限面体、六角四片四角孔扭歪无限面体和六角六片三角孔扭歪无限面体。约翰·康威将他们称为多立方体（英语：Mucube）、多八面体（英语：Muoctahedron）和、多四面体（英语：Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示“多”（英语：multiple）的意思，其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”^[3]。

四角六片四角孔扭歪无限面体（多立方体、英语：Mucube）：{4,6|4}：每个顶点都是六个正方形的公共顶点
六角四片四角孔扭歪无限面体（多八面体、英语：Muoctahedron）：{6,4|4}：每个顶点都是四个六边形的公共顶点
六角六片三角孔扭歪无限面体（多四面体、英语：Mutetrahedron）：{6,6|3}：每个顶点都是六个六边形的公共顶点

考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的[[(p,q,p,r)]⁺的手征对称性。与之相关的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的扩展对称性^[4]。

紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群对称性	无限面体 {p,q\|l}	图像	顶点图	相关堆砌
[[4,3,4]] [[4,3,4]⁺]	{4,6\|4} 四角六片四角孔扭歪无限面体多立方体	动画	扭歪六边形（黄色部分）	t_0,3{4,3,4}
[[4,3,4]] [[4,3,4]⁺]	{6,4\|4} 六角四片四角孔扭歪无限面体多八面体	动画	扭歪四边形（绿色部分）	2t{4,3,4}
[[3^[4]]] [[3^[4]]⁺]	{6,6\|3} 六角六片三角孔扭歪无限面体多四面体	动画	扭歪六边形（绿色部分）	q{4,3,4}（英语：Quarter cubic honeycomb）

三维双曲空间的正扭歪无限面体

1967年时，C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式，发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体^[5]。

14种紧空间正扭歪无限面体

14种紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群	无限面体 {p,q\|l}	堆砌	无限面体 {p,q\|l}	堆砌
[3,5,3]	{10,4\|3}	2t{3,5,3}（英语：Bitruncated icosahedral honeycomb）	{4,10\|3}	t_0,3{3,5,3}（英语：Runcinated icosahedral honeycomb）
[5,3,5]	{6,4\|5}	2t{5,3,5}（英语：Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb）	{4,6\|5}	t_0,3{5,3,5}（英语：Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb）
[(4,3,3,3)]	{8,6\|3}	ct{(4,3,3,3)}	{6,8\|3}	ct{(3,3,4,3)}
[(5,3,3,3)]	{10,6\|3}	ct{(5,3,3,3)}	{6,10\|3}	ct{(3,3,5,3)}
[(4,3,4,3)]	{8,8\|3}	ct{(4,3,4,3)}（英语：Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb）	{6,6\|4}	ct{(3,4,3,4)}（英语：Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb）
[(5,3,4,3)]	{8,10\|3}	ct{(4,3,5,3)}	{10,8\|3}	ct{(5,3,4,3)}
[(5,3,5,3)]	{10,10\|3}	ct{(5,3,5,3)}（英语：Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb）	{6,6\|5}	ct{(3,5,3,5)}（英语：Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb）

17种仿紧空间正扭歪无限面体

17种仿紧空间正扭歪无限面体
考克斯特群	无限面体 {p,q\|l}	堆砌	无限面体 {p,q\|l}	堆砌
[4,4,4]	{8,4\|4}	2t{4,4,4}（英语：Bitruncated order-4 square tiling honeycomb）	{4,8\|4}	t_0,3{4,4,4}（英语：Runcinated order-4 square tiling honeycomb）
[3,6,3]	{12,4\|3}	2t{3,6,3}（英语：Bitruncated triangular tiling honeycomb）	{4,12\|3}	t_0,3{3,6,3}（英语：Runcinated triangular tiling honeycomb）
[6,3,6]	{6,4\|6}	2t{6,3,6}（英语：Bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb）	{4,6\|6}	t_0,3{6,3,6}（英语：Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb）
[(4,4,4,3)]	{8,6\|4}	ct{(4,4,3,4)}	{6,8\|4}	ct{(3,4,4,4)}
[(4,4,4,4)]	{8,8\|4}	q{4,4,4}（英语：Order-4 square tiling honeycomb）
[(6,3,3,3)]	{12,6\|3}	ct{(6,3,3,3)}	{6,12\|3}	ct{(3,3,6,3)}
[(6,3,4,3)]	{12,8\|3}	ct{(6,3,4,3)}	{8,12\|3}	ct{(4,3,6,3)}
[(6,3,5,3)]	{12,10\|3}	ct{(6,3,5,3)}	{10,12\|3}	ct{(5,3,6,3)}
[(6,3,6,3)]	{12,12\|3}	ct{(6,3,6,3)}	{6,6\|6}	ct{(3,6,3,6)}

参见

注释

^ 对于此主题（无限多个面的扭歪多面体），将之称为“扭歪正多面体”可能会有歧义，因为非无限多面的扭歪多面体也可能是正多面体，例如正多面体#皮特里对偶。

参考文献

^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.
^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）.
^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. Regular Skew Polyhedron. MathWorld.

[3] 对于此主题（无限多个面的扭歪多面体），将之称为“扭歪正多面体”可能会有歧义，因为非无限多面的扭歪多面体也可能是正多面体，例如正多面体#皮特里对偶。

[1] 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.

[2] 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）.

[4] The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335

[5] Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)

[6] Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

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[注 1]

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