狄利克雷L函数

在数学中，狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变数函数

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.

在此 $\chi$ 是一个狄利克雷特征， $s\in \mathbb {C}$ 的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。

约翰·彼得·狄利克雷证明对所有 $\chi$ 具有 $L(1,\chi )\neq 0$ ，并借此证明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特征，则 $L(s,\chi )$ 在 $s=1$ 有单极点。

零点

不论可能的西格尔零点，狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域，包括 $\{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}$ 。一如黎曼ζ函数，狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。

假设 $\chi$ 是模 $k$ 的原特征。定义

\Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),

此处 $\Gamma$ 表Γ函数，而符号 $a$ 由下式给出

a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}

\Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).

此处的 $\tau (\chi )$ 表高斯和

\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).

我们亦有 $|\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}$ 。