谱序列

在同调代数中，谱序列是一种藉著逐步逼近以计算同调或上同调群的技术，由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。

动机

让·勒雷当初为了研究代数拓扑学，而引入层的概念，从而面临计算层上同调的问题。为此，勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法，它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。

人们很快就发现：勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题；更抽象地说，对合成函子取导函子也会得到谱序列，称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架，谱序列仍是最有效的计算工具。

由于谱序列包含大量的项，实际计算时往往会陷入带（至少）三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中，谱序列最后会“塌陷”，此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷，则须靠一些窍门取得有用的资讯。

形式定义

以下固定一个阿贝尔范畴 ${\mathcal {A}}$，常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 $r_{0}$ 及下述资料：

• 对所有整数 $r\geq r_{0}$，有范畴中的一个对象 $E_{r}$。
• 自同态 $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$，满足 $d_{r}^{2}=0$，称为边界映射或微分。
• 从 $E_{r+1}$ 到 $H(E_{r},d_{r})$ 的同构。

通常省去 $E_{r+1}$ 与 $H(E_{r},d_{r})$ 的同构，而写成等式。

最基本的例子是链复形 $C_{\bullet }$，它带有一个微分 $d$。取 $r_{0}=0$，并令 $E_{0}=C_{\bullet }$，于是必有 $E_{1}=H(C_{\bullet })$；这个新链复形上的微分只有一个自然的选择，就是零映射。于是有 $E_{1}=E_{2}=\cdots$。综之，我们得到一个链复形范畴上的谱序列：

• $E_{0}=C_{\bullet }$
• $E_{r}=H(C_{\bullet })\;(r\geq 1)$

由于只有 $r=0$ 时微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新资讯。

较常见的是双分次模（或层）范畴上的谱序列，表作 $E_{r}^{p,q}$，此时的微分映射次数与 $r$ 有关：对于上同调谱序列，$d_{r}:E_{r}\to E_{r}$ 的次数是 $(r,-r+1)$。对于同调谱序列，通常将各项写成 $E_{r}$，微分映射 $d^{r}:E_{r}\to E_{r}$ 的次数是 $(-r,r-1)$。

谱序列之间的态射 $f:E\to E'$ 定义为一族态射 $f_{r}:E_{r}\to E_{r}'$，使之与同构 $E_{r+1}\simeq H(E_{r},d_{r})$ 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。

正合偶

交换代数中大部分的谱序列来自链复形，而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见，此时对于许多谱序列，正合偶是唯一已知的构造法。事实上，正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。

同样固定一个阿贝尔范畴（通常取一个环上的双分次模）${\mathcal {A}}$，一个正合偶是：

• 一对对象 $A,C$
• 三个态射：
  • $f:A\to A$
  • $g:A\to C$
  • $h:C\to A$

使之满足下述正合条件：

• Image f = Kernel g
• Image g = Kernel h
• Image h = Kernel f

将这组资料简记为 $(A,C,f,g,h)$。正合偶通常以三角形表示。$C$ 对应到谱序列的 $E_{0}$ 项，而 $A$ 是一些辅助资料。

为了得到谱序列的后续项，以下将构造导出偶。令：

• $d:=g\circ h$
• $A':=f(A)$
• $C':=\mathrm {Ker} (d)/\mathrm {Im} (d)$
• $f':=f|_{A'}$
• $h':C'\to A'$ 由 $h$ 导出。
• $g':A'\to C'$ 定义如下：若 ${\mathcal {A}}$ 为某个环上的模范畴，对任一 $a\in A'$，存在 $b\in A'$ 使得 $a=f(b)$，定义 $g'(a)$ 为 $g(b)$ 在 $C'$ 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理构造态射 $g'$。

现在可以验证 $(A',C',f',g',h')$ 构成正合偶。$C'$ 对应到谱序列的 $E_{1}$ 项。续行此法，可以得到一族正合偶 $(A^{(n)},C^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})$。相应的谱序列定义为 $E_{n}:=C^{(n)}$，$d_{n}:=g^{(n)}\circ h^{(n)}$。

图解

谱序列的 E₂ 项

一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯，不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 $r,p,q$。对每个 $r$，设想有一张方格纸，分别让 $p,q$ 对应于横、纵轴。每一个格子点 $(p,q)$ 对应到对象 $E_{r}^{p,q}$。微分 $d_{r}$ 的次数为 $(r,-r+1)$，方向如图所示。

收敛与退化

在第一个简单的例子中，谱序列在 $r\geq 1$ 后的微分映射皆为零，故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 $E_{\infty }:=E_{r}\;(r\geq 1)$。对于一般的谱序列，也往往存在一个极限，极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。

定义：若谱序列 $E_{r}^{p,q}$ 对每个 $(p,q)$ 都存在 $r(p,q)\in \mathbb {N}$，使得当 $r\geq r(p,q)$ 时，$d_{r}^{p-r,q+r-1}:E_{r}^{p-r,q+r-1}\to E_{r}^{p,q}$ 及 $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ 皆为零，则称 $E_{r}^{p,q}$ 之极限项为 $E_{\infty }^{p,q}:=E_{r}^{p,q}$（取充分大的 $r$）。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列，此时极限项恒存在。

其中的指标 $p$ 指涉过滤结构。

若存在对象 $E^{\bullet }$、过滤结构 $\cdots \subset F^{p+1}E^{\bullet }\subset F^{p}E^{\bullet }\subset \cdots$，及一族同构 $\beta ^{p,q}:E_{\infty }^{p,q}\simeq \mathrm {gr} ^{p}E^{p+q}$，满足 $\bigcap _{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup _{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }$（这种过滤称为“正则过滤”），则称 $E_{r}^{p,q}$ 收敛到 $E^{\bullet }$，通常表为下述符号：

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}$

习惯上，人们也常将左式写成 $E_{2}^{p,q}$，因为谱序列中最重要的页往往是 $E_{2}^{p,q}$。

最简单的收敛特例是退化：

定义：固定 $r\in \mathbb {N}$，若对每个 $s\geq r$，微分映射 $d_{s}$ 都是零，则称该谱序列在第 $r$ 页退化。

退化性保证了 $E_{r}\simeq E_{r+1}\simeq \cdots$，此时 $E_{r}$ 即其极限。如果一个双分次谱序列 $E_{r}^{p,q}$ 的非零项集中于某一条水平或垂直线上，则必在 $r=2$ 时退化。

例子

过滤结构导出的谱序列

最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象，通常是链复形或上链复形。这是一个对象 $C$ 及微分映射 $d:C\to C$ ，使之满足 $d^{2}=0$，以及

$C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{n+1}C=0$

$dF^{p}C\subset F^{p}C$

同调群上也有相应的过滤

$F^{p}H(C,d):=\mathrm {Im} (H(F^{p}C,d)\to H(C,d)$

对此，定义相应的分次对象

$\mathrm {gr} _{F}C:=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}C/F^{p+1}C$

$\mathrm {gr} _{F}H(C):=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}H(C)/F^{p+1}H(C))$

取微分映射为零，可视之为复形。

以下式定义谱序列：

$Z_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{p+r}C}$

$E_{r}^{p}:=Z_{r}^{p}/(dZ_{r-1}^{p-r+1}+Z_{r-1}^{p+1})=Z_{r}^{p}/(Z_{r}^{p}\cap (dF^{p-r+1}C+F^{p+1}C))$

此时有 $E_{0}^{p}=F^{p}C/F^{p+1}C,E_{1}^{p}=H(\mathrm {gr} ^{p}C)$，且谱序列收敛：

$E_{r}^{p}\Rightarrow E_{\infty }^{p}=\mathrm {gr} ^{p}H(C)$

通常也写成 $E_{r}\Rightarrow H(C)$。

取 ${\mathcal {A}}$ 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 $C$ 是个上链复形 $\cdots \to C^{q}\to C^{q+1}\to \cdots$，$d$ 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 $p,q,r$，并可进一步化成下述形式：

$E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}$

$E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\mathrm {gr} ^{p}C^{\bullet })$

$E_{\infty }^{p,q}=\mathrm {gr} ^{p}(H^{p+q}(C^{\bullet }))$

双复形的谱序列

以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形，即一组对象 $C^{p,q}$，及两组微分映射 $d':C^{p,q}\to C^{p+1,q}$ 及 $d'':C^{p,q}\to C^{p,q+1}$，满足

$d'^{2}=d''^{2}=0$

$d'd''+d''d'=0$

对一个双复形，可定义其全复形 $(C,D)$（也记为 $T(C)$ 或 $\mathrm {Tot} (C)$） 为

$C^{n}:=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q}$

$D:=d'+d''$

$C$ 上有两组过滤，分别是：

$('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,i\geq p}C^{i,j}$

$(''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,j\geq q}C^{i,j}$

它们给出两个谱序列 $'E_{r}$ 与 $''E_{r}$。首先计算 $'E_{0},'E_{1},'E_{2}$ 项：

$'E_{0}^{i,j}=C^{i,j}$

$'E_{1}^{i,j}=H_{d''}^{j}(C^{i,\bullet })$

$'E_{2}^{i,j}=H_{d'}^{i}(H_{d''}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad$（即：先取纵向上同调，再取横向上同调）

同理可计算 $''E_{0},''E_{1},''E_{2}$：

$''E_{0}^{i,j}=C^{j,i}$

$''E_{1}^{i,j}=H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,i})$

$''E_{2}^{i,j}=H_{d''}^{i}(H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad$（即：先取横向上同调，再取纵向上同调）。

这两个谱序列通常是不同的，但随著 $r$ 增大，它们都收敛到 $H(C)$，由此可以得到一些有趣的比较定理。

例子

Tor函子的交换性

利用谱序列，可以迅速导出Tor函子的交换性，即一自然同构：

$\mathrm {Tor} _{i}(M,N)=\mathrm {Tor} _{i}(N,M)$

取定平坦分解 $P_{\bullet }\to M\to 0$ 及 $Q_{\bullet }\to N\to 0$。视之为集中于正项的复形，其微分映射分别记为 $d,e$。考虑双复形 $C_{i,j}:=P_{i}\otimes Q_{j}$，其微分映射定义为 $d_{i,j}:=d_{i}\otimes \mathrm {id} +(-1)^{j}\mathrm {id} \otimes e_{j}$（以使微分映射满足反交换性）。取其谱序列，遂得到：

$'E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))$

$''E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes H_{p}^{I}(P_{\bullet }))$

由于复形 $P_{\bullet },Q_{\bullet }$ 是平坦分解，其同调群只集中在零次项，此时其表示式为：

$H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}_{p}(M,N)$

$H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}_{q}(N,M)$

故 $'E_{p,q}^{2}$ 只在 $p=0$ 上有非零项，而 $''E_{p,q}^{2}$ 只在 $q=0$ 上有非零项，这保证了谱序列在第二页退化，由此导出同构：

${\mbox{Tor}}_{p}(M,N)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

${\mbox{Tor}}_{q}(N,M)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

当 $p=q$ 时，上述等式的右项同构（虽然其分次结构不同），由此得到 Tor 的交换性。

示性数

运用谱序列时，通常会假设某些项为零，或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知，仍可从谱序列中萃取资讯，最简单的例子是示性数：固定一个阿贝尔范畴 ${\mathcal {A}}$ 及一个交换群 $C$，所谓示性数是一个函数 $\chi :\mathrm {Ob} {\mathcal {A}}\to C$，满足：

• $\forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)$
• $X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)$

例如：取 ${\mathcal {A}}$ 为某个域 $k$ 上的有限维向量空间范畴，则 $\chi :V\mapsto \dim _{k}V$ 是一个示性数。

对任一 ${\mathcal {A}}$ 上的有限复形 $K^{\bullet }$，定义

$\chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})$

容易证明 $\chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))$。考虑任一在 ${\mathcal {A}}$ 上的收敛谱序列 $(E_{r}^{\bullet })$，由于谱序列的每一页都是前一页的同调，遂得到

$\chi (E_{r}^{\bullet })=\chi (E_{r+1}^{\bullet })=\cdots =\chi (E_{\infty }^{\bullet })$

然而

$\chi (E^{n})=\sum _{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{p+1}E^{n})=\sum _{p}\chi (E_{\infty }^{p,n-p})$

于是得到

$\forall r,\;\sum _{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E_{r}^{\bullet })$

参考资料

历史文献

• Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
• Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
• Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

当代文献

• S.N. Malygin, Spectral Sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McCleary, John. A User's Guide to Spectral Sequences 2nd Edition. Cambridge University Press. February 2001: 560 pp. doi:10.2277/0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Mosher, Robert; Martin Tangora. Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory. Harper and Row. 1968. 
• Hatcher, Allen. Spectral Sequences in Algebraic Topology (PDF). [2007-08-17]. （原始内容存档于2014-02-05）. 
• Chow, Timothy Y. You Could Have Invented Spectral Sequences (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, 53: 15––19 [2007-08-17]. （原始内容存档 (PDF)于2006-10-06）.