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赋环空间

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赋环空间 (ringed space) 在数学上系指一个拓扑空间配上一个交换环层,其中特别重要的一类是局部赋环空间。此概念在现代的代数几何学占重要角色。

定义

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  • 一个赋环空间是一组资料,其中为一拓扑空间而是其上的交换环层。
  • 在每一点的都是局部环,则称之局部赋环空间

全体赋环空间构成一个范畴态射是一组,其中是连续映射,是环层的态射( 定义为)。

局部赋环空间亦成一范畴,其态射除上述要求外,还须满足:对每一点在茎上诱导的自然态射必须是局部的(若是局部环,环同态满足,则称φ为局部的)。

例子

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  • 为任一拓扑空间,表 U 上的连续函数),则 成一局部赋环空间:的唯一极大理想由在消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射,反之亦然。
  • 上述例子中的可代以微分流形复流形,并将代以上的光滑函数或全纯函数。
  • 交换环谱。给定环同态,φ诱导出局部赋环空间的态射;反之任一态射皆由环同态给出。

为了刻划这些态射,局部的条件在此不可或缺,它可被视为之间的联系;例如,若不要求局部性,则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。