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雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔·雅可比在对theta函数和q-模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式,形如
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}z^{-2})(1+q^{2k-1}z^{+2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k^{2}}z^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa20db93e3804f7835fcd074fd466b0cafe4212)
其中
在单位圆盘内,而
非零。
它也可以用Q-函数或者q-珀赫哈默尔符号描述,
![{\displaystyle Q_{1}Q_{2}Q_{3}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5801edffdd775cf8a8bea58338a404642e3131ba)
考虑恒等式
![{\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})\left[t^{j}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})+t^{j-1}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5db1b322d0e12ca5f0feca7084c39259e047dc1)
立刻就有
![{\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(1+t)(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dec8ed8a14fc9a99dab78d9a575a4ef7d7bf1b)
考虑令
,则原式可改写为
![{\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\sum _{j=0}^{\infty }u^{j}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+uq^{m-1}/s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cffb2c6f29c2b9b4bbbe4459eb58b4be022fd0)
因此
![{\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+sq^{m-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ece30439fb36db3c61eed141fb8138ba449ed4)
利用对称性,令
,又有
![{\displaystyle q^{\begin{pmatrix}1-k\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{-k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def63681b8112c5c94f162859b5e59e1c434fa81)
再考虑对
的双边无穷求和,
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68170120a897052114c7585d39f0fbd12158108c)
因此,进一步地
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{m})(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bede40a60ff9bfdf7db87b16f12ba023e980326f)
令
且
,恒等式得证。