集中趋势

在统计学中，集中趋势（central tendency）或中央趋势，在口语上也经常被称为平均，表示一个机率分布的中间值。最常见的几种集中趋势包括算数平均数、中位数及众数。集中趋势可以由有限的数组（如一群样本）中或理论上的机率分配（如常态分布）中求得。有些人使用集中趋势（或集中性）这个词以表示“数量化的资料之中央值的趋势”。在这种意义下，我们可以利用资数据的离散程度（例如标准偏差或四分差等相似的统计量）判别其集中趋势的程度。

集中趋势（central tendency）一词于1920年代后期出现。

集中趋势的统计量

一维资料的集中趋势可能有以下数种统计方法。在某些情况下，经转型（data transformation）后的资料才采用以下的方法。

算术平均数

观测值的总和除以观测值的个数，即${\tfrac {x_{1}+x_{2}+x_{3}\ldots +x_{n}}{n}}$。常简称为平均数，也往往是背后机率分布的期望值之不偏估计。

中位数

将所有观测值按大小排序后在顺序上居中的数值。

众数

出现最多次的观测值。

几何平均数

观测值的乘积之观测值个数方根，即$(x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\ldots \times x_{n})^{\frac {1}{n}}$

调和平均数

观测值个数除以观测值倒数的总和，即${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}$

加权平均数

考虑不同群资料贡献程度不同时的算数平均数

截尾平均数（truncated mean）

忽略特定比例或特定数值之外的极端值后所得的平均数。例如，四分平均数（interquartile mean）正是忽略25%前及75%后的资料后所得的算数平均数。

中程数（midrange）又称全距中值

最大值与最小值的算数平均数，即${\frac {\min(x)+\max(x)}{2}}$。

中枢纽（midhinge）

第一四分位数与第三四分位数的算数平均数，即${\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}$。

三均值（trimean）

考虑三个四分位数的加权平均数，即${\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{4}}$。

极端值调整平均数（winsorized mean）

以最接近的观测值取代特定比例的极端值后取得的算数平均数。举例来说，考虑10个观测值（由小到大排列为$x_{1}$至$x_{10}$）的情况下，10%的极端值调整平均数为

${\frac {\overbrace {x_{2}+x_{2}} +x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+\overbrace {x_{9}+x_{9}} }{10}}$，

其中分别以$x_{2}$和$x_{9}$取代了$x_{1}$和$x_{10}$。

以上的统计量在多维变数中仍可单独地被套用在各个维度上进行，但并不能保证在转轴后仍维持一致的结果。

平均数、中位数与众数的关系

在指数分配exp(λ)中，期望值为1/λ而中位数为(ln 2)/λ，二者并不一致。

在左右对称的机率分布中，不同的集中趋势统计量有相同结果，但在偏度远离0时则可能不一致。在单峰型的机率分布（unimodal probability distribution）中，平均数（μ）、中位数（ν）与众数（θ）的关系如下：

${\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}$，

${\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}}$，

${\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}$，

其中σ为标准偏差。至于任一机率分布，

${\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1$。