- 维基百科:知识问答/存档/2016年7月#(a,b,c)是勾股数,c为斜边,则(a,b)至少一个是3的倍数,且(a,b)至少一个是4的倍数,且(a,b,c)至少一个是5的倍数
![{\displaystyle {\frac {5}{34}}+{\frac {7}{68}}+{\frac {9}{12}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f69b96c403f1e00b642efc7df7f1348c5299de)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4e298a55564457168cc1484b15dd23c9dc6099)
![{\displaystyle 21978\times 4=87912}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc21983355d624c8f24b82326403c7863ee3e9d)
的正整数解。k-knews.cc/news/4eypojq.html[1]
- 直线L方程式为
,平面上某点P座标为P(m,n),则P到L的距离![{\displaystyle ={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fabc645ee825c24b76cd0aa39ae5ce5c38f4922)
- ABC
- DEF
- GHI
- 9个空格分别为A,B,C,D,E,F,G,H,I,将1,2,3,4,5,6,7,8,9填入这9个空格,使得每一行、每一列、每条对角线的和皆相同,证明A,C,G,I皆为偶数。
证明
- 每一行、每一列、每条对角线的和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)/3=15
- 所以只要确定A,C,E的值,其他6格的值也就确定了
- (A+E+I)+(C+E+G)+(B+E+H)+(D+E+F)=15+15+15+15=60=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3E=45+3E,故E=(60-45)/3=5
- 所以只要再确定A,C的值即可
- 15为奇数,三个整数之和为奇数,则这三个整数须为“偶偶奇”或“奇奇奇”
- 若(A,C)为(偶,奇),则(A,B,C,D,E,F,G,H,I)为(偶,偶,奇,偶,5,偶,奇,偶,偶),共6个偶数,但1,2,3,...,9只有4个偶数,不合,排除之
- 若(A,C)为(奇,偶),则(A,B,C,D,E,F,G,H,I)为(奇,偶,偶,偶,5,偶,偶,偶,奇),也是共6个偶数,同上,排除之
- 若(A,C)为(奇,奇),则(A,B,C,D,E,F,G,H,I)为(奇,奇,奇,奇,5,奇,奇,奇,奇),共9个奇数,同上,排除之
- 所以倘若有解,则(A,C)须为(偶,偶),(A,B,C,D,E,F,G,H,I)为(偶,奇,偶,奇,5,奇,偶,奇,偶),所以A,C,G,I皆为偶数
- 由于可以旋转与翻转,且2+5+4不等于15(即2,4不在同一条对角线上),不失一般性,令A=2,C=4,则(A,B,C,D,E,F,G,H,I)为(2,9,4,7,5,3,6,1,8),为8组解的其中一组。
- 若
为非直角三角形的三内角,则![{\displaystyle \tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aa09793f8b29ec0d06a9d7dd82c9a4e9f69e57)
2020年1月24日分段[编辑]
问题
- 把个位数A移到最左边,结果变成B倍
- 有一个正整数,不知道总共有几位数,它的个位数是
,若把个位数移到最左边,成为最高位数,
- 则新数恰好是原数的
倍。其中
,
,且
。
- 考虑以下递回算式:
- B×A=k1
- B×(k1的个位数)+(k1的十位数)=k2 (k1若为一位数,则其十位数视为0,下同)
- B×(k2的个位数)+(k2的十位数)=k3
- B×(k3的个位数)+(k3的十位数)=k4
- .......
- B×(kn-1的个位数)+(kn-1的十位数)=kn
- B×(kn的个位数)+(kn的十位数)=A (等号右边第一次出现A)
- 请问为什么原数最小为“(kn的个位数) (kn-1的个位数) (kn-2的个位数).......(k1的个位数) (A)”?
- 例如:有一个正整数,它的个位数是8,若把个位数移到最左边,则新数恰好是原数的7倍。
- 7×8=56
- 7×6+5=47
- 7×7+4=53
- 7×3+5=26
- 7×6+2=44
- 7×4+4=32
- 7×2+3=17
- 7×7+1=50
- 7×0+5=5
- 7×5+0=35
- 7×5+3=38
- 7×8+3=59
- 7×9+5=68
- 7×8+6=62
- 7×2+6=20
- 7×0+2=2
- 7×2+0=14
- 7×4+1=29
- 7×9+2=65
- 7×5+6=41
- 7×1+4=11
- 7×1+1=8
- 所以原数最小是1159420289855072463768。
- 因为运算规则简单但琐碎,所以可以让Excel帮我们算:
- A1储存格输入“56”,A2储存格输入“=7*MOD(A1,10)+(A1-MOD(A1,10))/10”,
- 然后下拉复制即可。
,其中
是非负整数,则
- 布雷特施奈德公式:任意四边形的面积公式。婆罗摩笈多公式的推广。
- 证明
![{\displaystyle ((x+1)^{n})^{\prime }=n\cdot (x+1)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a339a093efe0b706ef701393ad600c23cf56da94)
- 证明
,其中
是非负整数,
是费波那契数列的第
项
2022年11月15日分段[编辑]
- 证明
,其中
为三角形三边长,
为其面积。
证明
将海伦公式略为变形,知
![{\displaystyle 16\triangle ^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2eb115cf39deee654224690754350b924e5875f)
故
![{\displaystyle {\begin{aligned}16\triangle ^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2073e52f660db138d5bcd9c12e9624f0d8323fd)
等号两边开根号,再同除以4,得
![{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3b7e4a2a2c764ff74ea6d82935ff3bd08af125)
恒为合成数,其中
为非负整数。
说明
78557*2^n+1恒为合成数
质因数 |
指数
|
3 |
2k
|
5 |
4k+1
|
7 |
12k+7
|
13 |
12k+11
|
73 |
36k+3
|
19 |
36k+15
|
37 |
36k+27
|