偽黎曼流形

偽黎曼流形，也稱為半黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold），在微分幾何中是指一光滑流形，其上有一光滑、對稱、點點非退化的$(0,2)$ 張量。此張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量。

偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定（通常要求非退化）。因為每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量，亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。

每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符號$(p,q)$。這裡$p$與$q$記作正特徵值及負特徵值的個數。注意$p+q=n$是流形的維數。黎曼流形就是以$(n,0)$作為符號。

偽黎曼流形的符號$(p,1)$稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外，洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有$(3,1)$符號的洛倫茲流形的模型。

和歐幾里得空間$\mathbf {R} ^{n}$可以被認為是黎曼流形的模型一樣，,有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間(Minkowski space) $\mathbf {R} ^{p,1}$是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為$(p,q)$的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的$\mathbf {R} ^{p,q}$:

$g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}$

有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量；因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。