分圓域

在數論中，分圓域是在有理數域 $\mathbb {Q}$ 中添加複數單位根進行擴張而得到的數域。將 $n$ 次單位根 $\zeta _{n}$ 加入而得到的分圓域稱為 $n$ 次分圓域，記作 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ 。

由於與費馬最後定理的聯繫，分圓域在現代代數和數論的研究中扮演着重要的角色。正是因為庫默爾對這些數域上（特別是當 p為素數時）的算術的深入研究，特別是在相應整環上唯一分解定理的失效，使得庫默爾引入了理想數的概念，並證明了著名的庫默爾同餘。

性質

$n$ 次分圓域是多項式 $x^{n}-1$ 的分裂域，因此是有理數域的伽羅瓦擴域。這個擴張的次數：$[\mathbb {Q} (\zeta _{n})\ :\ \mathbb {Q} ]$ 等於 $\phi (n)$，其中$\phi$ 是歐拉函數。$\zeta _{n}$ 的所有伽羅瓦共軛是${\zeta _{n}^{a}}$，其中 a 遍歷模 n的簡化剩餘系（所有與 n 互質的剩餘類）。同樣地，$n$ 次分圓域的伽羅瓦群同構於模 n 的乘法群 $\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ^{\times }$，其元素為

$b:(\zeta _{n})^{a}\to (\zeta _{n})^{ab}.$

與正多邊形的聯繫

高斯最早在研究尺規作正多邊形問題時涉及到了分圓域的理論。這個幾何問題實際上可以被轉化為伽羅瓦理論下的敘述：對什麼樣的n，n次分圓域可以通過若干次的二次擴張得到？高斯發現正十七邊形是可以用尺規作出的。更一般地說，對於一個素數 p，正p邊形可以用尺規作出當且僅當 p 為費馬素數。

與費馬最後定理的聯繫

研究費馬最後定理時，一個很自然的思路是將 $x^{n}+y^{n}$ 分解為 $x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\ldots (x+\zeta ^{n-1}y)$ 的形式，其中的n 是一個奇素數。這樣得到的一次因式都是 n 次分圓域中的代數整數。如果在 n 次分圓域中算術基本定理成立，代數整數的素數分解是唯一的，那麼可以通過它來確定方程是否有非平凡解。

然而，對於一般的 n，這個結論是錯誤的。但是，庫默爾找到了一個繞過這個困難的辦法。他引進了「理想數」的概念，作為對素數概念的改良。他將代數整數的素數分解不唯一的概念量化為類數：h_p，並證明了如果 h_p 不能被 p 整除（這樣的 p 被稱為正規素數），那麼費馬的猜想對於 n = p 是成立的。此外，他給出了庫默爾準則來判斷素數是否是正規的。運用這個準則，庫默爾檢驗了100以下的素數，除了三個「不正規」的：37、59和67。

二十世紀後，庫默爾關於分圓域的類數的同餘理論被日本數學家岩澤健吉推廣為岩澤理論。

參見

• 克羅內克-韋伯定理
• 單位根

參考來源

• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", J.W.S. Cassels、A. Frohlich 編, Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp.45-93.
• Daniel A. Marcus, Number Fields, 第三版, Springer-Verlag, 1977
• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
• Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, 第二版. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4