卡茨-穆迪代數

卡茨-穆迪代數是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代數的應用遍及數學和理論物理學。

定義

假定以下材料：

• $C=(c_{ij})$ ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) $C=(c_{ij})$ r.
• ${\mathfrak {h}}$ ———— 一個 2n − r維複向量空間 ${\mathfrak {h}}$.
• ${\mathfrak {h}}^{*}$ ———— ${\mathfrak {h}}$的對偶空間
• $\alpha _{i}\$ ————${\mathfrak {h}}$ 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根(co-root)
• $\alpha _{i}^{*}$ ————${\mathfrak {h}}^{*}$ 中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
• 上述各元滿足 $\alpha _{i}^{*}(\alpha _{j})=c_{ij}$.

卡茨-穆迪代數${\mathfrak {g}}$ 由符號 $e_{i}$ , $f_{i}$ (i=1,..,n) 及空間${\mathfrak {h}}$ 生成：

以上各元滿足以下關係：

• $[e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\$
• $[e_{i},f_{j}]=0\$ ；其中 $i\neq j.$
• $[e_{i},x]=\alpha _{i}^{*}(x)e_{i}$, 其中$x\in {\mathfrak {h}}.$
• $[f_{i},x]=-\alpha _{i}^{*}(x)f_{i}$, 其中 $x\in {\mathfrak {h}}.$
• $[x,x']=0\$ ；其中 $x,x'\in {\mathfrak {h}}.$
• $[e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]={\mathcal {C}}_{e_{i}}^{1-c_{ij}}\;e_{j}=0$ ;其中$e_{i}.\$出現 $1-c_{ij}\$ 次;
• $[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]={\mathcal {C}}_{f_{i}}^{1-c_{ij}}\;f_{j}=0$ ;其中$f_{i}.\$出現 $1-c_{ij}\$ 次;

(其中 ${\mathcal {C}}_{x}\;y=[x,y]$.)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義

• ${\mathfrak {h}}$ 是此卡茨-穆迪代數的一嘉當子代數。
• 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元，使得

$\forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g$

其中 ω 是 ${\mathfrak {h}}^{*}$的一元，

則稱g 為 權(weight) ω的. 我們可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 ${\mathfrak {h}}$的冪為零，e_i的冪為α*_i，而f_i的冪為−α*_i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若 $i\neq j$ ) 則 $[e_{i},f_{j}]=0\$ 一條件即指 α*_i 都是簡單根。

分類

我們可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

• ${\mathfrak {g}}$ 有限維 單李代數 (S 正定)
• ${\mathfrak {g}}$ 是 仿射李代數 (S 正半定)
• 雙曲 (S 不定)

S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.

參見

• 外爾-卡茨特徵標公式
• 廣義卡茨-穆迪代數

參考

• <<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
• Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）