向量自我迴歸模型(英語:Vector Autoregression model,簡稱VAR模型)是一種常用的計量經濟模型,由計量經濟學家和宏觀經濟學家克里斯托弗·西姆斯(英語:Christopher Sims)提出。它擴充了只能使用一個變量的自我迴歸模型(簡稱:AR模型),使容納大於1個變量,因此經常用在多變量時間序列模型的分析上。
VAR模型描述在同一樣本期間內的n個變量(內生變量)可以作為它們過去值的線性函數。
一個VAR(p)模型可以寫成為:
![{\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da84149886d490fba4c4d70a81a6a5361565387e)
其中:c是n × 1常數向量,Ai是n × n矩陣。et是n × 1誤差向量,滿足:
—誤差項的均值為0
—誤差項的協方差矩陣為Ω(一個n × 'n半正定矩陣)
(對於所有不為0的k都滿足)—誤差項不存在自我相關
一個有兩個變量的VAR(1)模型可以表示為:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a32312c99afd10284e89b7ac48e595b3e9aa045)
或者也可以寫為以下的方程組:
![{\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb1084103d84cad090787c3e06332f7f72558ab)
![{\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831c650d39247ba6ca9e32556c042c666cd6e0dc)
轉換AR(p)為VAR(1)[編輯]
AR(p)模型常常可以被改寫為VAR(1)模型。
比如AR(2)模型:
![{\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41d2699a247cc466676c97d69ad223ad5fe0471)
可以轉換成一個VAR(1)模型:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ca571b44896fea139c9a76e662d7a8df451135)
其中I是單位矩陣。
結構與簡化形式[編輯]
結構向量自我迴歸[編輯]
一個結構向量自我迴歸(Structural VAR)模型可以寫成為:
![{\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74165c78f1d5c47a624cea724c5e33d51b451d2)
其中:c0是n × 1常數向量,Bi是n × n矩陣,εt是n × 1誤差向量。
一個有兩個變量的結構VAR(1)可以表示為:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9839bbe21513dbbf05ca60f024c3f169d7de6fb)
其中:
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\end{bmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdedfa4d684a30afc48c4d0fb124c8bd2111cb5a)
簡化向量自我迴歸[編輯]
把結構向量自我迴歸與B0的逆矩陣相乘:
![{\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0d977d66b59abc0ecccdca33fa02d24a79de43)
讓:
對於
和 ![{\displaystyle B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3dced8ad15bcc212d6f6007d0f0a618bb7c819)
我們得到p-階簡化向量自我迴歸(Reduced VAR):
![{\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c83bee85befd60ae126a428a060db38262467d1)
相關條目[編輯]