哈代—拉馬努金定理

在數學上，哈代—拉馬努金定理是由拉馬努金證明、由哈代檢驗的公式。^[1]公式斷言，若 $\omega (n)$ 是正整數 $n$ 彼此相異的質因數個數，那麼其正常階（英語：normal order of an arithmetic function）為 $\log {\log {(n)}}$ 。

換句話說，絕大多數的正整數相異的質因數個數大略為 $\log {\log {(n)}}$ 。

精確描述

一個更精確的敘述是，若 $\psi (n)$ 是任意實數函數，且在 $n$ 趨近於無限時會趨近於無限的話，那麼以下關係式對幾乎所有的整數成立（也就是例外的比例無限小）：

|\omega (n)-\log \log n|<\psi (n){\sqrt {\log \log n}}

更傳統的關係式如下：

|\omega (n)-\log \log n|<{(\log \log n)}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }

換句話說，若 $g(x)$ 是不大於 $x$ 且是上式例外的正整數 $n$ 的個數的話，那麼在 $x$ 趨近於無限時， $g(x)/x$ 趨近於零。

圖蘭·帕爾在1934年找到了上式的簡單證明，他用圖蘭篩法證明了下式：（Turán (1934)）

\sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log x|^{2}\ll x\log \log x\ .

若將 $\omega (n)$ 換成 $\Omega (n)$ ，即正整數 $n$ 質因數總數、將重複質因數重複計算，類似的結果仍然成立。

另外，這定理後來被推廣為艾狄胥—卡滋定理（英語：Erdős–Kac theorem）；而艾狄胥—卡滋定理指出 $\omega (n)$ 的數值基本呈現正態分布。

Hardy, G. H.; Ramanujan, S., The normal number of prime factors of a number n, Quarterly Journal of Mathematics, 1917, 48: 76–92 [2023-11-06], JFM 46.0262.03, （原始內容存檔於2013-05-21）
Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru, The Erdős–Kac theorem and its generalizations, De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (編), Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes 46, Providence, RI: American Mathematical Society: 209–216, 2008, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl 1187.11024
Turán, Pál, On a theorem of Hardy and Ramanujan, Journal of the London Mathematical Society, 1934, 9 (4): 274–276, ISSN 0024-6107, Zbl 0010.10401, doi:10.1112/jlms/s1-9.4.274
Hildebrand, A., Hardy-Ramanujan theorem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4