對偶範數是數學中泛函分析里的概念。考慮一個賦范向量空間的對偶空間時,常常需要給對偶空間賦以合適的幾何架構。對偶範數是一種自然的賦范方式。
對偶空間[編輯]
給定一個係數域為
賦范向量空間(比如說一個巴拿赫空間)E(其中
通常是實數域
或複數域
),所有從E到
上的連續線性映射(也稱為連續線性泛函)的集合稱為E的(連續)對偶空間,記作:E' .
對偶範數[編輯]
可以證明,E′是一個向量空間。其上可以裝備不同的範數。對偶範數(
)是一種自然的範數定義方式,定義為:
![{\displaystyle \forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3654c8888a5f660e29de3ab7fa47e9b6c3ea63b1)
由於E′中的元素的是連續線性泛函,所以按照以上定義的範數必然存在,是一個有限正實數。引進了對偶範數後,E′成為一個賦范線性空間。可以證明,E′在對偶範數下必然是完備的,所以E′是巴拿赫空間。
證明:
給定一個由E′中元素構成的柯西序列:
,其中每一個
都是E-線性泛函。由柯西序列的定義可知,
使得![{\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea2ea1c56427f92a172d20fad7fb51ba85b84ed)
所以對E中任何元素x,都有:
![{\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d80b7731aa084a4a57849f3bf76ad3b3c7db8e)
這說明
是柯西數列,因而收斂:數列的極限存在。定義函數
如下:
![{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474ece10df0d4e178777ab37e27c95451881805)
這樣定義的函數f 是連續線性泛函,屬於E′。事實上:
- f 是線性映射:
![{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c26035b5bf95ed3278c295063a6df8c5787685f)
![{\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ee2cb373e916277844f0b6a6759c2f46eecf4f)
- f 是連續映射:
- 將
定為1,則存在
,使得
,都有
,這說明:
因此,
都有![{\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4a0c7cbb3c58efc99b5e571373ee58da4b1921)
- 當
趨向無窮大時,就有:
。這說明f 是連續映射。
最後證明f 是序列
在對偶範數下的極限:
- 給定
,總能找到
,使得:
所以,![{\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abae8cba5f3a293f1e091a06b02c3d54e60b7a4)
![{\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3de3bc3b71c990ffeb9615884c009643fd56a55)
- 當
趨向無窮大時,就有:![{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e77675fd4918f9e7a5574cef093357194232b9)
- 因此,
![{\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be2b77aa2868ba5296ec063db8f96616007c3f4)
這說明序列
在對偶範數下收斂到f。所以E′是完備空間。
給定兩個大於1的實數p和q。如果兩者滿足:
,那麼序列空間
和
互相是對偶空間(在同構的意義上)。
裝備的是序列p-範數之時,它的對偶空間裝備的對偶範數可以和裝備了序列q-範數的
建立等距同構。當
時,以上性質說明,
和自身對偶。
參考來源[編輯]