數列極限

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數列極限（英語：limit of a sequence）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一複數數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$，若有一複數 $z\in \mathbb {C}$ ，使得

「對於任意的正實數 $\epsilon >0$，存在自然數 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的自然數 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，則 $|z_{i}-z|<\epsilon$ 」

用正式的邏輯語言來表示即

$(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]$

則稱數列${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$收斂於 $z$（convergent to $z$ ），並記作

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

如果不存在這樣的複數 $z\in \mathbb {C}$，則稱 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 來說，若

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

則其極限 $z$ 一定為實數 ，因為假設 $z$ 的虛部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的話，則對極限定義取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的話，會存在 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$有

$|z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|$

這是矛盾的，所以根據反證法，$\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R}$ 。

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的極限存在，則極限是唯一的。

證明

設數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 有兩個不相等的極限值$z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C}$，則根據假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$，使任意 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

$|z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

$|z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

這樣根據三角不等式，對任意的 $\epsilon >0$ ， 只要自然數 $i>n$ 就有則

$|z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon$

這樣的話，假設 $|z_{1}-z_{2}|>0$ 會得到

$|z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|$

這樣是矛盾的，故根據反證法， $|z_{1}-z_{2}|=0$ ，也就是 $z_{1}=z_{2}$，故極限唯一。$\Box$

有界性

定理 — 若數列$\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$有極限，則存在正實數 $M>0$ ，使得對所有的自然數 $i\in \mathbb {N}$ 都有 $|x_{i}|\leq M$。

（即 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有極限則必為有界數列）

證明

因為$\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$有極限，假設有實數 $L\in \mathbb {R}$ 滿足

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$

這樣的話，對於 $\epsilon =1$ ，存在自然數 $n\in \mathbb {N}$，使得任意的自然數 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，則

$|x_{i}-L|<\epsilon =1$

從而

$|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$

這樣的話，令

$M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)$

就會有

$|x_{i}|\leq M$

故得証。$\Box$

根據實質條件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

保序性

定理 — 有實數數列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

則「$a>b$ 」等價於「存在$n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $x_{i}>y_{i}$」。

證明

左至右：

取$\epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，則由前提假設，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

$|x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}$

$|y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}$

從而

$y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$

故

$y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$

這樣取 $n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ ，左至右就得證。$\Box$

右至左：

由前提假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}$ 就有

$\epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a$

$\epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b$

$x_{i}>y_{i}$

從而

$0<x_{i}-y_{i}<a-b$

故得證。$\Box$

四則運算定理

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，則

1. $\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$；
2. $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$；
3. 若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,則$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$.

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，稱為單調收斂定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

主條目：柯西序列

參看

• 級數
• 函數極限