漸近分析

漸近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在數學分析中是一種描述函數在極限附近的行為的方法。有多個科學領域應用此方法。例子如下：

最簡單的例子如下：考慮一個函數 $f(n)$ ，我們需要了解當 $n$ 變得非常大的時候 $f(n)$ 的性質。

令 $f(n)=n^{2}+3n$ ，在 $n$ 特別大的時候，第二項 $3n$ 比起第一項 $n^{2}$ 要小很多。

於是對於這個函數，有如下斷言：「 $f(n)$ 在 $n\rightarrow \infty$ 的情況下與 $n^{2}$ 漸近等價」，記作 $f(n)\sim n^{2}$ 。

漸近等價

定義：給定關於自然數 $n$ 的複函數 $f$ 和 $g$ ，

命題 $f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$ 表明（使用小o符號）

$f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$

或（等價記法）

$f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$ 。

這說明，對所有正常數 $\epsilon$ ，存在常量 $N$ ，使得對於所有的 $n\geqslant N$ 有

$|f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|$ 。

當 $g(n)$ 不是0或者趨於無窮大時，該命題可等價記作

$\lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1$ 。

漸近等價是一個關於 $n$ 的函數的集合上的等價關係。非正式地，函數 $f$ 的等價類包含所有在極限情況下近似等於 $f$ 的函數 $g$ 。

函數 $f(x)$ 的漸近展開是它的一種級數展開。這種展開的部分和未必收斂，但每一個部分和都表示 $f(x)$ 的一個漸近表示式。例子：斯特靈公式。

J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.