相關 (概率論)

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相關（Correlation），又稱為相關性、關聯，在概率論和統計學中，相關顯示了兩個或幾個隨機變量之間線性關係的強度和方向。在統計學中，相關的意義是：用來衡量兩個變量相對於其相互獨立的距離。在這個廣義的定義下，有許多根據數據特點用來衡量數據相關性而定義的係數，稱作 相關係數。通常使用相關係數來計量這些隨機變量協同變化的程度，當隨機變量間呈現同一方向的變化趨勢時稱為正相關，反之則稱為負相關。

幾組(x, y)的點集，以及各個點集中x和y之間的相關係數。我們可以發現相關係數反映的是變量之間的線性關係和相關性的方向（第一排），而不是相關性的斜率（中間），也不是各種非線性關係（第三排）。請注意：中間的圖中斜率為0，但相關係數是沒有意義的，因為此時變量Y是0

歷史

英國生物學家和統計學家弗朗西斯·高爾頓首先提出「相關」這一概念，英國數學家卡爾·皮爾遜在此基礎上做出了進一步發展。

各種相關係數

對於不同測量尺度的變數，有不同的相關係數可用：

• 皮爾遜相關係數（Pearson's r）：衡量兩個等距尺度或等比尺度變數之相關性。是最常見的，也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
• 淨相關（英語：partial correlation）：在模型中有多個自變數（或解釋變數）時，去除掉其他自變數的影響，只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數。
• 相關比（英語：correlation ratio）：衡量兩個連續變數之相關性。

• Gamma相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
• 斯皮爾曼等級相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
• 肯德爾等級相關係數：衡量兩個人為次序尺度變數（原始資料為等距尺度）之相關性。
• 肯德爾和諧係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。

• Phi相關係數（英語：Phi coefficient）：衡量兩個真正名目尺度的二分變數之相關性。
• 列聯相關係數（英語：contingency coefficient）：衡量兩個真正名目尺度變數之相關性。
• 四分相關（英語：tetrachoric correlation）：衡量兩個人為名目尺度（原始資料為等距尺度）的二分變數之相關性。
• Kappa一致性係數（英語：K coefficient of agreement）：衡量兩個名目尺度變數之相關性。

• 點二系列相關係數（英語：point-biserial correlation）：X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
• 二系列相關係數（英語：biserial correlation）：X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。

皮爾遜積差係數

主條目：皮爾遜積矩相關係數

數學特徵

$\rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}$，

其中，E是數學期望，cov表示協方差，$\sigma _{X}$和$\sigma _{Y}$是標準差。

因為$\mu _{X}=E(X)$，$\sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)$，同樣地，對於$Y$，可以寫成

$\rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}$。

當兩個變量的標準差都不為零，相關係數才有定義。從柯西-施瓦茨不等式可知，相關係數的絕對值不超過1。當兩個變量的線性關係增強時，相關係數趨於1或-1。當一個變量增加而另一變量也增加時，相關係數大於0。當一個變量的增加而另一變量減少時，相關係數小於0。當兩個變量獨立時，相關係數為0，但反之並不成立。這是因為相關係數僅僅反映了兩個變量之間是否線性相關。比如說，X是區間［－1，1］上的一個均勻分布的隨機變量。Y = X².那麼Y是完全由X確定。因此Y和X不獨立，但相關係數為0。或者說他們是不相關的。當Y和X服從聯合正態分布時，其相互獨立和不相關是等價的。

當一個或兩個變量帶有測量誤差時，他們的相關性就受到削弱，這時，「反衰減」性（disattenuation）是一個更準確的係數。

幾何特徵

對於居中的數據來說（何謂居中？也就是每個數據減去樣本均值，居中後它們的平均值就為0），相關係數可以看作是兩個隨機變量中得到的樣本集向量之間夾角的cosine函數。一些實際工作者更喜歡用非居中的相關係數（與皮爾遜係數不相兼容）。看下面的例子中有一個比較。例如，假設五個國家的國民生產總值分別是1、2、3、5、8（單位10億美元），又假設這五個國家的貧困比例分別是11%、12%、13%、15%、18%。則我們現在有兩個有序的包含5個元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法來計算向量間夾角（參考數量積），未居中的相關性係數如下：

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {2.93}{{\sqrt {103}}{\sqrt {0.0983}}}}=0.920814711$。

上面的數據實際上是故意選擇了一個完美的線性關係：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮爾遜相關係數應該就是1。把數據居中（x中數據減去E (x) = 3.8，y中數據減去E (y) = 0.138）後得到：x =（−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2）、y =（−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042），由此得到了預期結果：

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {0.308}{{\sqrt {30.8}}{\sqrt {0.00308}}}}=1=\rho _{xy}$，

統計學上的相關

樣本相關係數

對於樣本對$(X_{i},Y_{i})$，相關係數的計算過程可表示為：將每個變量都通過減去平均值、再除以校正標準差後轉化為標準單位，乘積的平均值，再經過貝塞爾校正即為相關係數。

兩個變量的關係可以直觀地用散點圖表示，當其緊密地群聚於一條直線的周圍時，變量間存在強相關。

一個散點圖可以用五個統計量來概括：所有$x$值的平均數${\bar {x}}$，所有$x$值的校正標準差（即樣本標準差）$s_{x}$，所有$y$值的平均數${\bar {y}}$，所有$y$值的校正標準差$s_{y}$，相關係數$r_{xy}$。

其中：

$s_{x}={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}},s_{y}={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}$

那麼：

$r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{(n-1)s_{x}s_{y}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}},$

或寫成：

$r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {n}{n-1}}{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})}{s_{x}}}{\frac {(y_{i}-{\bar {y}})}{s_{y}}}$,

其中${\frac {n}{n-1}}$為貝塞爾校正。

參見

• 相關不蘊涵因果
• 相關係數