纖維化 (數學)

此條目介紹的是代數拓撲中的纖維化。關於用於下降理論與範疇邏輯的範疇論中的纖維化，請見「纖維範疇」。

數學中，尤其是代數拓撲，一個纖維化（fibration）是一個連續映射

$p:E\to B,\,$

對任何空間滿足同倫提升性質。纖維叢（在仿緊底上）構成一類重要例子。在同倫論中任何映射和纖維化「一樣好」——即任何映射可以分解為到「映射道路空間」的同倫等價複合一個纖維化（參見同倫纖維）。

對 CW復形（或等價地，只用多方體 Iⁿ）有同倫提升性質的纖維化稱為塞爾纖維化，讓-皮埃爾·塞爾在其博士論文中部分提出了這個概念。這篇論文牢固地在代數拓撲學中建立了譜序列的使用，並將纖維叢與纖維化的概念從層中清晰地分離出來（這兩個概念在早期讓·勒雷的處理中是不清晰的）。因為一個層（想象為一個艾達爾空間）可以視為一個局部同胚，那時候這些概念是密切相連的。

「纖維」由定義是 E 的子空間，是 B 中一個點 b 的逆像。如果底空間 B 是道路連通的，有定義可以推出 B 中兩個不同點 b₁ 和 b₂ 的纖維是同倫等價的。從而我們通常就說纖維 F。纖維化不必有定義更受限的纖維叢時的局部笛卡兒乘積結構，但弱一點仍可從纖維到纖維移動。塞爾譜序列的一個主要令人滿意的性質是說明了底 B 的基本群在全空間 E 的同調上的作用。

乘積空間的投影映射容易看出是一個纖維化。纖維叢有局部平凡化性質——這樣的笛卡兒乘積結構在 B 上局部存在，就通常足夠證明一個纖維叢是一個纖維化。更確切地，如果在 B 一個可數開覆蓋上有局部平凡化，則叢是纖維化。仿緊空間上任何覆蓋——比如任何度量空間，有一個棵樹加細，所以任何這樣空間上的纖維叢是纖維化。局部平凡化也蘊含了良定義的「纖維」的存在性（差一個同胚），至少在 B 的每個連通分支上。

例子

下面纖維化的例子記作

F → E → B，

這裡第一個映射是「纖維」 F 到群空間的包含，第二個是到底空間 B 的纖維化映射。這也稱為一個纖維化序列。

• 霍普夫纖維化 S¹ → S³ → S² 在歷史上是纖維化最早的非平凡例子。
• 塞爾纖維化 SO(2) → SO(3) → S² 來自旋轉群 SO(3) 在球面 S² 上的作用。
• 在復射影空間上，存在一個纖維化 S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ。

性質

歐拉示性數

主條目：歐拉示性數

對具有一定條件的纖維化歐拉示性數是可乘的。

如果 $p\colon E\to B$ 是一個纖維化，纖維為 F，底 B 是道路連通的，且纖維化在一個域 K 上可定向，則在係數 K 中的歐拉示性數滿足乘積性質：

$\chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).$

這包括了特例乘積空間與覆疊空間，可用纖維化的同調塞爾譜序列證明。

對一個纖維叢，這也可用轉移映射 $\tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)$ 來理解——注意這是一個提升且朝「錯誤的方向」—— 它與投影映射 $p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)$ 複合的效果是乘以纖維的歐拉類： $p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.$

閉模型範疇中的纖維化

拓撲空間範疇的纖維化可放入更一般的框架中，所謂閉模型範疇。在這樣的範疇中，有一些特殊的態射，所謂的「纖維化」、上纖維化與弱等價。某些公理，比如纖維化在複合與拉回下的穩定性，任何映射可分解為一個非周期上纖維化與一個纖維化或一個上纖維化與一個非周期纖維化的複合，這裡詞「非周期」表示相應的箭頭不是一個弱等價，以及其他一些要求允許抽象地處理同倫理論。（在原先丹尼爾·奎倫的處理中，使用「平凡」代替「非周期」。）

可以證明拓撲空間範疇確實是一個模型範疇，這裡（抽象的）纖維化恰好就是上面介紹的纖維化而弱等價是同倫等價，參考 Dwyer, Spaliński (1995)。

相關條目

• 同倫纖維

參考文獻

• Dwyer, William G.; Spaliński, J., Homotopy theories and model categories, Handbook of algebraic topology, Amsterdam: North-Holland: 73–126, 1995 [2022-03-25], MR1361887, （原始內容存檔於2021-02-09）  (model category structure on topological spaces)