輻角原理

圍道 C（黑色），f 的零點（藍色）以及 f 的極點（紅色）。

在複分析中，輻角原理（Argument principle）或稱柯西輻角原理（Cauchy's argument principle）說如果 f(z) 是在某個圍道 C 上以及內部一個亞純函數，且 f 在 C 上沒有零點或極點，則下列公式成立

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

這裡 N 與 P 分別表示 f(z) 在圍道 C 內部的零點與極點個數，每個零點計重數，極點計階數。定理的陳述假設圍道 C 是簡單的，即沒有自交，以及它是逆時針方向定向的。

更一般地，假設 C 是一條曲線，逆時針方向定向，在複平面中一個開集 Ω 中可縮為一點。對每個 z ∈ Ω，令 n(C,z) 是 C 繞點 z 的卷繞數。則

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),$

這裡第一個求和對 f 所有零點 a 進行並計重數，第二個求和在 f 的所有極點 b 上進行。

證明

設 z_N 是 f 的一個零點。我們可將 f 寫成 f(z) = (z − z_N)^kg(z) 這裡 k 是零點的重數，從而 g(z_N) ≠ 0。我們有

$f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!$

以及

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.$

因 g(z_N) ≠ 0，故 g′(z)/g(z)在 z_N 沒有奇點，從而在 z_N 解析，這意味着 f′(z)/f(z) 在 z_N 的留數是 k。

設 z_P 是 f 的一個極點。我們可寫成 f(z) = (z − z_P)^−mh(z) 這裡 m 是極點的階數，從而 h(z_P) ≠ 0。我們有

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

以及

${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

因為 h(z_P) ≠ 0，故 h′(z)/h(z) 在 z_P 沒有奇點，從而在 z_P 解析。我們發現 f′(z)/f(z) 在 z_P 的留數是 −m。

將它們放在一起，f 的每個 k 重零點 z_N 產生 f′(z)/f(z) 的一個留數為 k 的單極點，而 f 的每個 m 階極點 z_P 產生 f′(z)/f(z) 的一個留數為 −m 的單極點（這裡一個單極點指一階極點）。另外，可以證明 f′(z)/f(z) 沒有其它極點，從而沒有其它留數。

由留數定理我們有關於 C 的積分是 2πi 與這些留數之和的乘積。總之，每個零點 z_N 的 k 之和是計重數的零點個數，對極點類似，故我們得到了欲證之結論。

推論

假設 C 是一個以原點為中心的閉圍道，通過考慮 f(z) 關於 0 的卷繞數可得出一些推論。我們看到 f′(z)/f(z) 在 C 上的積分是 log f(z) 值的變化。因為 C 是閉的我們只需考慮 $i$ arg f(z) 在 C 上的變化，它將是 2π$i$ 的某個整數倍（但可能繞原點卷多圈）。但從輻角原理

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

約去因子 2$\pi i$，我們得到

$N-P=I(C,0)\,\!$

這裡 I(C,0) 表示 f 在 C 上關於 0 的卷繞數。

一個推論是更廣泛的定理，在同樣的假設下，如果 g 是 Ω 中一個解析函數，則

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

例如，如果 f 是以一個簡單圍道 C 內部 z₁, ..., z_p 為零點的多項式，以及g(z) = z^k，則

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},$

是 f 的根的次方和對稱多項式。

另一個推論是如果我們計算復積分：

$\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,$

對一個合適的f，我們有阿貝爾-普蘭納公式：

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,$

這給出了一個離散和式與它的積分之間的關係。

歷史

按照弗蘭克·史密西斯一書（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的說法，在奧古斯丁·路易·柯西從法國到都靈（當時皮德蒙特-薩丁尼亞王國的首都）的自我放逐途中，柯西於1831年11月2日提出了和上面類似的一個定理（見177頁）。但是根據此書，只提到了零點，沒有極點。柯西的這個定理在許多年後的1974年才以手寫本發表，故很難閱讀。柯西逝世兩年前的1855年發表的一篇論文中，零點與極點都討論了。定理 1 只涉及了零點。柯西1855年論文中的定理 2 說「一個單復變量函數 Z 的對數計量（compteurs logarithmiques，相當於現代教材中的對數留數）等於 Z 與 1/Z 根的個數之差（相當於現代教材中的函數 Z 的零點與極點）。從而現代「輻角原理」可在1855年柯西論文中作為一個定理發現。

應用

反饋控制理論的現代書籍中頻繁用到輻角原理，將其作為奈奎斯特穩定性判據的理論基礎。哈里·奈奎斯特1932年原理的論文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一種相當笨拙與原始的方法得出奈奎斯特穩定性判據。在這篇論文中，奈奎斯特完全沒有提到柯西的名字。後來，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 與 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都從輻角原理得到了奈奎斯特穩定性判據。MacColl (Bell Laboratories) 將輻角原理稱為柯西定理。這樣輻角原理在純粹數學與控制工程學中都有重大影響。現在，輻角原理可在複分析或控制工程學的現代教材中都可以找到。

參考文獻

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Argument Principle. MathWorld. 
• Module for the Argument Principle by John H. Mathews
• An Illustration of the Argument Principle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

相關條目

• 儒歇定理
• 路徑積分
• 奈奎斯特穩定性判據
• 奧古斯丁·路易·柯西