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鉛直叢

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數學微分幾何領域,一個光滑纖維叢鉛直叢vertical bundle)是切叢的一個子叢,由所有和纖維相切的向量組成。更具體地,如果 π:EM 是一個光滑流形 M 上一個光滑纖維叢,設 eE 滿足 π(e)=xM,則在 e 處的鉛直空間vertical space) VeE 是纖維 Ex 包含 e 的切空間 Te(Ex)。這就是, VeE = Te(Eπ(e))。從而鉛直空間是 TeE 的一個子空間,所有鉛直空間的並是 TE 的一個子叢 VE,這便是 E 的鉛直叢。

鉛直叢是微分 dπ:TEπ-1TM,這裡 π-1TM拉回叢;用符號表示,VeE=ker(dπe)。因為 dπe 在每一點 e 是滿射,它得出了商叢 TE/VE 與拉回 π-1TM 的一個典範等價。

E 上一個埃雷斯曼聯絡是選取 VE 在 TE 中的一個補子叢,稱為這個聯絡的水平叢horizontal bundle)。

例子

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光滑纖維叢一個簡單的例子是兩個流形的笛卡兒積。考慮叢 B1 := (M × N, pr1) 帶有叢投影 pr1 : M × NM : (x, y) → x。則鉛直叢便是 VB1 = M × TN,這是 T(M×N) 的一個子叢。如果我們取另一個投影 pr2 : M × NN : (x, y) → y 來定義纖維叢 B2 := (M × N, pr2) 則鉛直叢將為 VB2 = TM × N

在這兩種情形,乘積結構給出了水平叢的自然選取,導致一個埃雷斯曼聯絡:B1 的水平叢是 B2 的鉛直叢,反之亦然。

參考文獻

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  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333.