阿佩爾序列

在數學中，阿佩爾序列是得名於十九世紀法國數學家保羅·埃米爾·阿佩爾（Paul Émile Appell）^[1]的一類多項式序列 {p_n(x)}_{n = 0, 1, 2, ...}。阿佩爾序列滿足以下關係：

{d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),

其中的 p₀(x) 是非零常數。

除了一些平凡的例子如 { xⁿ } 以外，最值得注意的阿佩爾序列是埃爾米特多項式、伯努利多項式以及歐拉多項式。所有的阿佩爾序列都是謝弗序列，但要注意的是絕大多數謝弗序列都不是阿佩爾序列。

等價的阿佩爾序列定義方式

最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的

的關係式。此外，以下的條件也可以被驗證是與之等價的：

純數數列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 滿足 c₀ ≠ 0，並且
$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};$
純數數列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 滿足 c₀ ≠ 0，並且
$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},$

其中 $D={d \over dx};$
對所有的 n = 0, 1, 2, ...,
$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.$

假設

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},

其中後一個等式是在以x為不定元的多項式構成的線性空間中的線性算子 S 的定義式。並定義：

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}

為 S 的逆算子，其中的係數 a_k 是形式冪級數的逆係數。這樣得到

Tp_{n}(x)=x^{n}.\,

在影子演算的約定中，算子 T 一般被用來代表阿佩爾序列 {p_n}，可以定義對數算子：

\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)

運用通常的 log(1 + x) 的冪級數展開表達式以及通常的複合形式冪級數定義後，可以得到：

p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,

當阿佩爾序列是埃爾米特多項式的時候，這個關係式也可以變化為埃爾米特多項式的遞推公式。

Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2^e série, tome 9, 1880.
Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978).
G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications.
Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 0-677-04150-0.